Дифференцируемость функции нескольких переменных, частные производные, полный дифференциал.Функция называется дифференцируемой в данной точке, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде: , где А1, А2, …, Аm – некоторые не зависящие от ∆х1, ∆х2, …, ∆хm числа, а α1, α2, …, αm – бесконечно малые при функции, равные 0 при ∆х1=∆х2=…∆хm=0. Частная производная функции z=f(x,y) по х – предел отношения частного приращения функции по х к приращению Δх при Δх→0, если он существует и конечен: = Частная производная функции z=f(x,y) по y- – предел отношения частного приращения функции по y к приращению Δy при Δy→0, если он существует и конечен:: = Полный дифференциал функции z=f(x,y) - главная линейная относительно и ∆у часть приращения функции ∆z в точке (х,у). dz= (x,y)dx+ (x,y)dy Если функция f(x,y) определена в некоторой области D, то её частные производные f’x(x,y), f’y(x,y), тоже будут определены в той же области или её части. Будем называть эти производные производными I-ого порядка. Производные этих функций производными II-ого порядка.
Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков. 5. Экстремум функции двух переменных: необходимое и достаточное условия. Точка max М0 – это если для функции z=f(x,y), определённой в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0,у0), верно неравенство f(x0,y0)≥f(x,y) Точка min М0 – это если для функции z=f(x,y), определённой в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0,у0), верно неравенство f(x0,y0)≤f(x,y) Необходимое условие: если функция f(x,y) в точке (х0,у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе её частные производные первого порядка равны 0 f´y(x0,y0)=0, f´x(x0,y0)=0, либо хотя бы одна из них не существует. Эту точку (х0, у0) будут называть критической точкой. Достаточное условие: пусть в окрестности критической точки (х0,у0) функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение: 1. Если ∆(х0,у0)>0, то в точке (х0, у0) функция f(x,y) имеет экстремум, Если (x0, y0)<0 – max, если (x0, y0)>0 – min. 2. Если ∆(х0,у0)<0, то в точке (х0,у0) функция f(x,y) не имеет экстремума. 3. Если ∆=0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.
|