СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1) Если переставить пределы интегрирования, то изменится лишь знак:

2) Каковы бы ни были а и b, всегда имеет место равенство:

3) Постоянный множитель А выносится за знак определенного интеграла:

4) Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

5) Если f(x) – неотрицательная на [a;b], функция и нижний предел меньше верхнего предела (a<b), то и сам интеграл – число неотрицательное, т.е.:

Замечание: если f (x) ≤0 на [a;b] и a<b, то ≤0

Если f (x) ≥0 на [a;b] и a>b имеем ≤0

Если f (x) ≤0 на [a;b], то ≥0

 

6) Если a ≤ b, а f(x) и u·g(x) - две непрерывные функции, которые на [a, b] удовлетворяют условию f(x) ≤ g(x), то:

, т.е. неравенство почленно интегрируется.

7) Если a ≤ b и f(x) непрерывна на [a, b], то:

, т.е. абсолютная величина интеграла не превосходит интеграла абсолютной величины подынтегральной функции.

8) Если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a;b], то:

9) Теорема о среднем:

Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то существует хотя бы одна точка С на этом отрезке, такая, что справедливо равенство:

Замечание: формула справедлива также для a>b, кроме a<b

Если a>b, то:

, (b=<c=<a)

Отсюда

Геометрический смысл:

Если f(x) >=0 на отрезке [a;b], то интеграл левой части есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), а правая часть – площадь прямоугольника с тем же основанием и h=f(c). Для площади криволинейной трапеции всегда есть равновеликий ей прямоугольник с тем же основанием и h, равной ординате этой кривой.

10) Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен 0.

=0

 

Определенный интеграл как функция верхнего предела:

В отличие о неопределенного интеграла, определенный интеграл – это число, величина которого зависит только от пределов a и b. Если изменить верхний предел, то величина интеграла изменится.

Интеграл с переменным верхним пределом есть функция своего верхнего предела Ф(х):

Теорема: производная определенного интеграла от непрерывной функции по его верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции в верхнем пределе.

Если функция f(x) – непрерывна, то она имеет первообразную F(x), равную определенному интегралу.

11. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА (основная формула интегрального исчисления (!))

Если f(x) непрерывна на отрезке [a;b], и F(x) - некоторая первообразная функции f(x), То:

Формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: