Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и уравнение Бернулли.

Уравнение вида y’ + Р(х)у = Q(x), где Р(х) и Q(x) – известные функции от х, линейные относительно функции у и её производной y’, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если q(x)=0, уравнение называется линейным однородным уравнением. q(x)=0 – линейное неоднородное уравнение.

Линейное уравнение приводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными при помощи подстановки у = u*v, где u = u(х) и v = v(x) – некоторые вспомогательные непрерывные функции.

Итак, у = u*v, у’ = u’*v + u * v’ (1),

тогда исходное уравнение перепишем в виде: u’*v + u * v’ + Р(х)*v = Q(x) (2).

Так как неизвестная функция у ищется в виде произведения двух функций, то одна из них может быть выбрана произвольно, другая – определяться уравнением (2).

Выберем так, чтобы v’ + Р(х)*v = 0 (3). Для этого достаточно, чтобы v(x) была частным решением уравнения (3) (при С = 0). Найдём это решение:

= -v*P(x); = - ; ln |v| = - ; v = (4)

Подставляя функцию (4) в уравнение (2), получим второе уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим функцию u(x):

u’ * = Q(x); du = Q(x) * ; u = + C (5)

Окончательно получаем:

y(x) = u(x)*v(x) = *( + C)

Уравнение Бернулли: y’ + y = x* y³

Данное уравнение имеет вид: y’ + Р(х)*у = y’’ * Q(x), где Р(х) и Q(x) – непрерывные функции.

Если n = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифф.уравнением. Если n = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.

В общем случае, когда n ≠ 0, 1, ур. Бернулли сводится к линейному дифф.уравнению с помощью подстановки: z = y^1-n

Новое дифф.уравнение для ф-ции z(x) имеет вид: z' + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) и может быть решено теми же способами, что и линейные дифф.уравнения 1-ого порядка.

 

20. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Рассмотрим уравнение, не содержащие функцию в явном виде:

(1)

Порядок этого уравнения понижается на единицу с помощью подстановки:

Действительно, тогда:

...

И мы получили уравнение, в котором порядок понижен на единицу:

Дифф. уравнения порядка выше второго имеют вид и , где - действительные числа, а функция f(x) непрерывна на интервале интегрирования X.

Аналитически решить такие уравнения далеко не всегда возможно и обычно используют приближенные методы. Однако в некоторых случаях возможно отыскать общее решение.

Теорема.

Общим решением y₀ линейного однородного дифференциального уравнения на интервале X с непрерывными коэффициентами на X является линейная комбинация n линейно независимых частных решений ЛОДУ с произвольными постоянными коэффициентами , то есть .

Теорема.

Общее решение y линейного неоднородного дифференциального

 

уравнения на интервале X с непрерывными на том же

 

промежутке X коэффициентами и функцией f(x) представляет собой сумму ,

 

где y₀ - общее решение соответствующего ЛОДУ , а - какое-нибудь частное решение исходного ЛНДУ.

Таким образом, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными

коэффициентами ищем в виде , где - какое-нибудь

его частное решение, а – общее решение соответствующего однородного дифференциального

 

уравнения .

 

21. Испытания и события. Виды событий. Примеры.

Испытание – создание определённого комплекса условий для совершения событий. Пример: бросание игральной кости

Событие – появление\непоявление того или иного исхода испытания; результат испытания. Пример: выпадение числа 2

Случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти при данном испытании. Пример: выпадение числа, большего чем 5

Достоверное – событие, которое неизбежно происходит при данном испытании. Пример: выпадение числа, большего или равного 1

Возможное – событие, которое может произойти при данном испытании. Пример: выпадение числа 6

Невозможное – событие, которое не может произойти при данном испытании. Пример: выпадение числа 7

Пусть А – некоторое событие. Под событием, противоположным ему, будем понимать событие, состоящее в ненаступлении события А. Обозначение: Ᾱ. Пример: А – выпадение числа 2, Ᾱ - выпадение любого другого числа

События А и В несовместны, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же испытании. Пример: выпадение при одном броске чисел 1 и 3.

События А и В называются совместными, если они могут появиться в одном испытании. Пример: выпадение при одном броске числа, большего, чем 2, и числа 4.

22. Полная группа событий. Примеры.

Полная группа событий – события A, B, C, D, …, L, которые принято считать единственно возможными, если в результате каждого испытания хотя бы одно из них обязательно наступит. Пример: выпадение на игральной кости числа 1, числа 2, 3, 4, 5, 6.

23. Частота события. Статистическое определение вероятности.

Пусть проведено n испытаний, причём событие А наступило m раз. Такое отношение m:n является частотой наступления события А.

Опр. Вероятность случайного события – связанное с данным событием постоянное число, вокруг которого колеблется частота наступления этого события в длинных сериях испытаний.

Вероятность вычисляется до опыта, а частота – после него.

24. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события.

Вероятностью события х называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных попарно несовместных и единственно возможных исходов опыта. Р(А) =

Свойства вероятности события:

Для любого события А 0<=m<=n

Поделив каждый член на n, получим для вероятности любого события А: 0<=Р(А) <=1

Если m=0, то событие невозможно: Р(А)=0

Если m=n, то событие достоверно: Р(А)=1

Если m<n, то событие случайно, и его вероятность заключена между 0 и 1.

25. Геометрическое определение вероятности. Примеры.

Классическое определение вероятности требует рассмотрение конечного числа элементарных исходов, причем равновозможных. Но на практике часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно.

Опр. Если точка случайным образом появляется одномерной\ двумерно\ или 3х мерной области меры S (мера – ее длина, площадь или объём) то вероятность ее появления в части этой области меры S равна

где S – геометрическая мера, выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а S i – мера, выражающая количество благоприятствующих событию A исходов.

Пример 1. Круг радиусом R помещен меньший круг радиусом г. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший круг, попадет также и в малый круг.

Пример 2. Пусть отрезок длиной l включается в отрезок длиной L. Най ти вероятность события А «наудачу брошенная точка попала на отрезок длиной l».

Пример 3. В круге произвольно выбирается точка. Какова вероятность того, что ее расстояние до центра круга больше половины?

Пример 4. Два лица и условились встретиться в определённом месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

 

26. Элементы комбинаторики: Размещение, перестановка, сочетания.

1) Перестановкой называется установленный в конечном множестве порядок.

Число всех различных перестановок вычисляется по формуле

2) Размещением из n элементов по m называется всякое упорядоченное подмножество основного множества, содержащее m элементов.

3) Сочетанием из n элементов по m называется всякое неупорядоченное подмножество основного множества, содержащее элементов.

 

27. Элементы комбинаторики: правила суммы и произведения.

ПРАВИЛО СУММЫ

Если объект А может быть выбран m способами, а объект В – другими n способами, причем А и В несовместны, то выбор либо А либо В осуществляется m+n способами.

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Если объект А может быть выбран m способами и после каждого из этих выборов объект В может быть выбран n способами, то выбор упорядоченной пары (А;В) может быть осуществлен m*n способами.

28. Алгебра событий: сумма, произведение событий. Противоположные события. Примеры.

О. Суммой двух событий А и В называется событие, заключающееся в наступлении или А или В или обоих событий вместе. Обозначение: А+В.

(иначе А+В – наступление хотя бы одного из событий)

Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Событие - попадание 1-го стрелка в мишень и событие - попадание 2-го стрелка в мишень. Сумма событий – это попадание в мишень хотя бы одного из этих стрелков.

О. Произведением А и В называется событие, заключающееся в совместном наступлении А и В. Обозначение: А*В

Пример 1. Если А —деталь годная, В — деталь окрашенная, то — деталь А*В годна и окрашена.

Пример 2. Например, если А;В;С появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

 

О. Пусть А – некоторое событие. Под событием, противоположным ему, понимается событие, состоящее в том, что А не наступило. Обозначение:

Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если А — попадание, то противоположное событие — промах.

Пример 2. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — противоположные.

 

29. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.

Если события А и В несоместны, то вероятность того, что осуществляется одно из этих событий, равна сумме их вероятностей.

Р(А+В) = Р(А) – Р(В)

Следствие: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1

Р(А₁) + Р(А₂)+….+Р(А_n) = 1

В частности: Р(А) +Р() = 1

 

30. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

О. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого.

Пример 1. Монета брошена два раза. Вероятность появления "герба" в первом испытании (событие A) не зависит от появления или не появления "герба" во втором испытании (событие B). В свою очередь, вероятность появления "герба" во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события A и B независимые.

О. События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого.

О. Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Пример 1. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Пример 2. Из колоды в 36 карт последовательно извлекаются 2 карты. Найти вероятность того, что вторая карта окажется червой, если до этого:а) была извлечена черва;б) была извлечена карта другой масти.

 

 

31. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

О. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

О. Если события А и В независимы, то вероятность их совмещения равна произведению вероятности этих событий: Р(АВ) = Р(А)* Р_а(В)

 

 

32. Теорема сложения вероятностей для совместных событий.

Пусть А и В – произвольные события. Вероятность того, что осуществится хотя бы 1 из этих двух событий, равна сумме их вероятностей без вероятности их совмещения:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

(Если события А и В несовместны то вероятность их совмещения равна 0 тогда получим: Р(А+В) = Р(А) + Р(В))