Точечные и интервальные статистические оценки и их свойства.

Точечные оценки-оценки, выраженные одним числом.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака х:

1. Генеральной средней называют среднее арифметическое значение признака генеральной совокупности. Если значения различны, то

=M(х)

Если значения имеют соответственно частоты , причем , то

=M(х)

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n.

 

Выборочным средним называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки объема n различны, то:

 

.

 

Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то:

 

.

Выборочная средняя применяется для оценки неизвестного математического ожидания случайной величины.

Она является несмещённой и состоятельной оценки математического ожидания.

Генеральной дисперсией Dr называется среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака х генеральной совокупности от генеральной средней.

 

Выборочной дисперсией Dв называется среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака Х от выборочной средней

Выборочная дисперсия является состоятельной, но смещенной оценкой дисперсии.

Несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии является исправленная выборочная дисперсия

При малом объеме выборки (n<=30) пользуются исправленной выборочной дисперсией, при больших n безразлично какой пользоваться.

Для практических расчетов выборочной дисперсии используют формулу:

Среднее квадратичное отклонение равно корню из выборочной дисперсии

 

Интервальные оценки параметров распределения определяется двумя числами – концами интервала.

Интервал (Õ1; Õ2) называется доверительным для параметра О с доверительной вероятностью (надёжностью) y (0<y<1), если неравенство Õ1<O< Õ2 выполняется с вероятностью не меньше у, те

P(Õ1<O< Õ2)≥y (в символе Õ еще посередине О внутри черточка, просто не нашла такой значок)

Доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания нормального распределения генеральной совокупности при известном среднем квадратическом отклонении вычисляется по формуле

где - точность оценки, - объем выборки, - выборочное среднее, - аргумент функции Лапласа, при котором где α-надежность.