Числа и множества. Числа и цифры. Римская буквенная нумерация. Позиционная система счисления (двоичная, десятичная).

A) 20700

B) 23307

C) 22222

D) 18000

E) 22111

 

Числа и множества. Числа и цифры. Римская буквенная нумерация. Позиционная система счисления (двоичная, десятичная).

Число— основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения и нумерации объектов. Цифры — система знаков («буквы») для записи чисел («слов») (числовые знаки). Слово «цифра» без уточнения обычно означает один из следующих десяти («алфавит») знаков: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (т. н. «арабские цифры»). Сочетания этих цифр порождают дву-(и более)значные коды и числа. Существуют также много других вариантов («алфавитов»):

· римские цифры (I V X L C D M)

· шестнадцатеричные цифры (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F)

· цифры майя (от 0 до 19)

· в некоторых языках, например, в древнегреческом, в иврите, в церковнославянском, существует система записи чисел буквами и др.

 

Позиционная система счисления (позиционная нумерация) — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).

 

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2.

Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Положительные целые числа (без знака) записываются в виде:

где:

· — представляемое число, первый индекс — основание системы кодирования (размерность множества цифр a={0,1}), второй индекс — основание весовой показательной функции b (в двоично-десятичном кодировании b=10),

· — запись числа, строка цифровых знаков,

· — обозначение основания системы кодирования и основания системы счисления,

· — количество цифр (знаков) в числе x_2,2,

· — порядковый номер цифры,

· — цифры числа x_2,2 из множества a={0,1}, в двоичной системе счисления основание системы кодирования равно 2,

· — основание показательной весовой функции, основание системы счисления,

· — весовая показательная функция, создающая весовые коэффициенты.

 

Десятичная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем. В ней используются цифры 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека.

Целое число x в десятичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа 10:

, где — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству

Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра в десятичном представлении x была также ненулевой.

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

С помощью n позиций в десятичной системе счисления можно записать целые числа от 0 до , то есть, всего различных чисел.

Дробные числа записываются в виде строки цифр с разделителем десятичная запятая, называемой десятичной дробью:

где n — число разрядов целой части числа, m — число разрядов дробной части числа.

 

Натуральные, простые, отрицательные числа. Основные арифметические действия и законы. Законы ассоциативности (сочетательности), коммутативности и дистрибутивности (распределительности).

Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

· перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);

· обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком . Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Множество будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент (единица) и функция (функция следования) так, что выполнены следующие условия

1. ( является натуральным числом);

2. Если , то (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);

3. (1 не следует ни за каким натуральным числом);

4. Если и , тогда (если натуральное число непосредственно следует как за числом , так и за числом , то );

5. Аксиома индукции. Пусть — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа . Тогда:

если и , то

(Если некоторое высказывание верно для (база индукции) и для любого при допущении, что верно , верно и (индукционное предположение), то верно для любых натуральных ).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о «натуральном ряде».

Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы.

Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137,139, 149, 151, 157, … (последовательность A000040 в OEIS, см. также список простых чисел)

· Если — простое, и делит , то делит или . Доказательство этого факта было дано Евклидом и известно каклемма Евклида. Оно используется в доказательстве основной теоремы арифметики.

· Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда — простое.

· Характеристика каждого поля — это ноль или простое число.

· Если — простое, а — натуральное, то делится на (малая теорема Ферма).

· Если — конечная группа с элементов, то содержит элемент порядка .

· Если — конечная группа, и — максимальная степень , которая делит , то имеет подгруппу порядка , называемую силовской подгруппой, более того, количество силовских подгрупп равно для некоторого целого (теоремы Силова).

· Натуральное является простым тогда и только тогда, когда делится на (теорема Вильсона).

· Если — натуральное, то существует простое , такое, что (постулат Бертрана).

· Ряд чисел, обратных к простым, расходится. Более того, при

· Любая арифметическая прогрессия вида , где — целые взаимно простые числа, содержит бесконечно много простых чисел (Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии).

· Всякое простое число, большее 3, представимо в виде или , где — некоторое натуральное число. Отсюда, если разность между несколькими последовательными простыми числами (при k>1) одинакова, то она обязательно кратна 6 — например: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.

· Если — простое, то кратно 24 (справедливо также для всех нечётных чисел, не делящихся на 3).

· Теорема Грина-Тао. Существуют сколь угодно длинные конечные арифметические прогрессии, состоящие из простых чисел.

· Никакое простое число не может иметь вид , где n >2, k >1. Иначе говоря, число, следующее за простым, не может быть квадратом или более высокой степенью с основанием, бо́льшим 2. Из этого следует также, что если простое число имеет вид , то k — простое (см. числа Мерсенна).

· Никакое простое число не может иметь вид , где n >1, k >0. Иначе говоря, число, предшествующее простому, не может быть кубом или более высокой нечётной степенью с основанием, бо́льшим 1.

· Существуют многочлены, множество положительных значений которых при неотрицательных значениях переменных совпадает с множеством простых чисел. Одним из примеров является многочлен

содержащий 26 переменных и имеющий степень 25. Наименьшая степень для известных многочленов такого типа — 5 при 42 переменных; наименьшее число переменных — 10 при степени около 1,6·10⁴⁵. Этот результат является частным случаем доказанной Юрием Матиясевичем диофантовости любого перечислимого множества.

Отрицательное число — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.

Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем ноль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля. Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка, позволяющее сравнивать одно целое число с другим.

Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n, которое дополняет n до нуля:

Оба числа называются противоположными друг для друга. Вычитание целого числа a из другого целого числа b равносильно сложению b с противоположным для a:

При делении с остатком частное может иметь любой знак, но остаток, по соглашению, всегда неотрицателен (иначе он определяется не однозначно). Например, разделим −24 на 5 с остатком:

.

Ассоциативность (сочетательность, сочетательный закон) — свойство сложения и умножения чисел, выражаемое тождествами (а + b) + с = = а + (b + с) и (аb) с = a (bc).
Ассоциативная операция — это бинарная операция , обладающая ассоциативностью (лат. associatio — соединение), или сочетательностью:

для любых элементов .

Для ассоциативной операции результат вычисления не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение при в общем случае не определено.

Закон коммутативности - общее название логических законов, позволяющих менять местами высказывания, связанные конъюнкцией ("и"), дизъюнкцией ("или"), эквивалентностью ("если и только если") и др. Эти законы аналогичны алгебраическим законам коммутативности для умножения, сложения и др., по которым результат умножения не зависит от порядка множителей, сложения - от порядка слагаемых и т. д.

Символически 3. к. для конъюнкции и дизъюнкции записываются так (р, q - некоторые высказывания, & - конъюнкция, v - дизъюнкция, = - эквивалентность):

(p&q) = (q&p), р и q тогда и только тогда, когда q и р;

(pvq) = (qvp), р или q, если и только если q или р.

 

Дистрибутивность, также распределительность — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве.

Говорят, что две бинарные операции + и × удовлетворяют свойству дистрибутивности, если для любых трех элементов :

— дистрибутивность слева;

— дистрибутивность справа.

Если операция × является коммутативной, то свойства дистрибутивности слева и справа совпадают.

Аддитивная и мультипликативные операции в кольцах и полях по определению удовлетворяют свойству дистрибутивности.

Если операции сложения и пересечения для односторонних идеалов некоторого кольца (или подмодулей некоторого модуля) удовлетворяют свойству дистрибутивности, то говорят о дистрибутивном кольце (или дистрибутивном модуле).