Простейшие элементарные функции и их графики (постоянная и степенная).
Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций: · алгебраические: · степенная; · рациональная. · трансцендентные: · показательная и логарифмическая; · тригонометрические и обратные тригонометрические.
Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции. Постоянной называется функция, заданная формулой у = b, где b - некоторое число. Графиком постоянной функции у = b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0; b) на оси ординат. На рисунке изображены графики нескольких постоянных функций. В частности, графиком функции y = 0 является ось абсцисс.
Если b = 0, то получаем прямую пропорциональность у = kх.
|
При n = 3 получаем функцию у = х3.
Функция у = х3.
Перечислим свойства функции у = х3. 1) Область определения функции - вся числовая прямая. 2) у = х3 - нечетная функция (f (- х) = (- х)3= - х3 = - f (x)) 3) Функция у = х3 возрастает на всей числовой прямой. График функции у = х3 изображен на рисунке. Он называется кубической параболой.
Пусть n - произвольное четное натуральное число, большее двух: n = 4, 6, 8,.... В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х2. График такой функции напоминает параболу у = х2, только ветви графика при |x| > 1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |x| < 1 тем "теснее прижимаются" к оси х, чем больше n. (рис. а)
Пусть n - произвольное нечетное число, большее трех: n = 5, 7, 9, …. В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х3. График такой функции напоминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n) (рис. б). Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хn тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.
Степенная функция с целым отрицательным показателем.
Рассмотрим функцию у = х -n, где n - натуральное число. При n = 1 получаем у = х -1 или у = 1/х. Свойства этой функции рассмотрены выше.
Пусть n - нечетное число, большее единицы, n = 3, 5, 7, … В этом случае функция у = х -n обладает в основном теми же свойствами, что и функция у = 1/х. График функции у = х -n (n = 3, 5, 7, …) напоминает график функции у = 1/х (рис. а).
Пусть n - четное число, например n = 2. Перечислим некоторые свойства функции у = х -2, т. е. функции у = 1/х2. 1) Функция определена при всех x ≠ 0 2) y =1/х2 - четная функция. 3) y = 1/х2 убывает на (0; + ∞) и возрастает на (- ∞; 0).
Теми же свойствами обладают любые функции вида у = х -n при четном n, большем двух.
График функции у = 1/х2 изображен на рисунке б. Аналогичный вид имеет график функции у = х -n, если n = 4, 6,...
Функция у = х1/2.
Перечислим свойства функции у = 
. 1) Область определения - луч [0; + ∞). Это следует из того, что выражение 
Функция у = х1/3.
Перечислим свойства функции у = 
. 1) Область определения функции - вся числовая прямая. 2) Функция у = 
обладает теми же свойствами, что и функция у = 
Степенная функция с положительным дробным показателем.
Рассмотрим функцию у = хr, где r - положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой функции. 1) Область определения - луч [0; + ∞). 2) Функция ни четная, ни нечетная. 3) Функция у = хr возрастает на [0; + ∞).
На рисунке а изображен график функции у = х2,5.
Он заключен между графиками функций у = х2 и у = х3, заданных на промежутке [0; + ∞). Подобный вид имеет график любой функции вида у = хr, где r > 1. На рисунке б изображен график функции у = х2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции у = хr, где 0 < r < 1.
Степенная функция с отрицательным дробным показателем.
Рассмотрим функцию у = х -r, где r - положительная несократимая дробь.
Перечислим свойства этой функции. 1) Область определения - промежуток (0; + ∞). 2) Функция ни четная, ни нечетная. 3) Функция у = х -r убывает на (0; + ∞)
Построим график функции у = х -1/2 (рис. в). Подобный вид имеет график любой функции у = хr, где r - отрицательная дробь.
