Прямоугольные координаты вектора

Для определения прямоугольных координат вектора (применимых для представления векторов любой размерности) можно исходить из того, что координаты вектора (направленного отрезка), начало которого находится в начале координат, совпадают с координатами его конца^[6].

· Таким образом, например, координаты (x,y) на рис.1 являются координатами вектора .

Для векторов (направленных отрезков), начало которых не совпадает с началом координат, прямоугольные координаты можно определить одним из двух способов:

1. Вектор можно перенести так, чтобы его начало совпало с началом координат). Тогда его координаты определяются способом, описанным в начале параграфа: координаты вектора, перенесенного так, что его начало совпадает с началом координат, - это координаты его конца.

2. Вместо этого можно просто вычесть из координат конца вектора (направленного отрезка) координаты его начала.

· Для прямоугольных координат понятие координаты вектора совпадает с понятием ортогональной проекции вектора на направление соответствующей координатной оси.

В прямоугольных координатах очень просто записываются все операции над векторами:

· Сложение и умножение на скаляр:

или

или

а отсюда и вычитание и деление:

или

или

(Это верно для любой размерности n и даже, наравне с прямоугольными, для косоугольных координат).

· Скалярное умножение:

или

(Только в прямоугольных координатах с единичным масштабом по всем осям).

· Через скалярное произведение - длину вычисление длины вектора

и угла между векторами

· Внешнее умножение:

для любой размерности пространства,

· Векторное умножение (только для трехмерного же пространства, на котором оно и определено):

Очевидно, всё это позволяет, если надо, свести все операции над векторами к достаточно простым операциям над числами.

 

Трилинейные координаты тесно связаны с барицентрическими координатами. А именно, если — барицентрические координаты точки относительно треугольника , то

её трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.

Для точки , лежащей внутри треугольника , в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников . Это означает, что в качестве трилинейных координат можно взять расстояния от точки до сторон треугольника — абсолютные трилинейные коодинаты. Если точка лежит вне треугольника, то расстояния до сторон нужно взять с учётом знака. Например, если точки и лежат по одну сторону от прямой , то , а если по разные, то .

В трилинейных координатах изогональное сопряжение задаётся формулой . В связи с этим трилинейные координаты часто бывают удобны при работе с изогональным сопряжением.

 

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой ), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка даётся как . В терминах прямоугольной системы координат:

· — расстояние от до , ортогональной проекции точки на плоскость . Или то же самое, что расстояние от до оси .

· — угол между осью и отрезком .

· равна аппликате точки .

При использовании в физических науках и технике международный стандартISO 31-11 рекомендует использовать обозначения .

Некоторые математики используют .

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр в прямоугольных координатах имеет уравнение , а в цилиндрических — очень простое уравнение . Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».