Понятие вектора в стандартном евклидовом n-мерном пространстве

Вектор в арифметическом n-мерном пространстве
Является частным случаем определения вектора в абстрактной алгебре. Если в качестве взять поледействительных чисел с операциями сложения и умножения. , где — декартова степеньмножества R; для операцию «+» зададим следующим образом: , нейтральный элемент: =(0,…,0), обратный элемент: ; операцию умножения на скаляр: . Тогда вектор, задаваемый кортежем длиной n, состоящим из действительных чисел является арифметическим вектором векторного пространства над полем действительных чисел .

n-мерное пространство задается как — декартова степень множества действительных чисел, точка — как кортеж длины n из действительных чисел, что соответствует определению пространства как множества точек.

Вектор в планарной евклидовой геометрии (связанный вектор) — упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая — концом вектора.

Два вектора равны, если разности по каждой из координат с одинаковыми номерами конечной и начальной точки для этих векторов равны. Эти разности называются пространственными координатами вектора.

Свободный вектор задается классом всех равных связанных векторов и полагается равным каждому из этих связанных векторов и таким образом может быть определен как вектор в арифметическом пространстве (кортеж чисел длины n (пространственных координат равных ему связанных векторов) с операциями сложения и умножения на скаляр).

Результатом операций со связанными векторами принимается вектор, начальная точка которого совпадает с начальной точкой первого слагаемого при сложении векторов и начальной точке исходного вектора при умножении вектора на скаляр.

Нуль-вектор — вектор, начало и конец которого совпадают.

Также существует более распространенное определение вектора как направленного отрезка, но оно требует определения прямой и отрезка в n-мерном пространстве.

Прямая, на которой лежит ненулевой вектор с началом в точке , заданный свободным вектором с пространственными координатами — множество точек , удовлетворяющее условию:

Отрезок MN — множество всех точек O(удовлетворяющих условию ), все различные точки которого принадлежат одной прямой, точки M и N называются концевыми точками отрезка. Отрезок называется направленным, если его концевые точки упорядочены. Если концы отрезка совпадают, он состоит из 1 точки.

При введение скалярного произведения, угла и длины вектора, задающей расстояние между двумя точками как расстояние между начальной и конечной точками вектора(как показано ниже([1], [2], [3])) векторное пространство становится евклидовым нормированным пространством и при n=3 соответствует модели физического трехмерного пространства; при n=2 — плоскости этого пространства; при n=1 точка соответствует числу на числовой прямой, свободный вектор — разности двух чисел, а длина вектора соответствует модулю; при n=0 существует только одна точка(задается пустым кортежем), декартово произведение содержит только пустой кортеж, соответственно пространство представляет собой точку, есть только нулевой вектор; пространство при n>3 не имеет наглядной геометрической интерпретации, так как физическое пространство трёхмерно.

Скалярное произведение определяется по формуле: , [1]
(где — пространственные координаты векторов )

Длина вектора: , [2]
(где — пространственные координаты вектора.)

Угол между двумя векторами (где — пространственные координаты векторов ) определяется через скалярное произведение:
, [3]