Свойства средней арифметической величины и их практическое использование.

Наиболее распространённым видом средних величин является

средняя арифметическая. Она обладает рядом математических свойств, значение которых не только позволяет понять сущность средних, но и позволяет упростить расчёт средней величины (особенно в тех случаях, когда значения признака имеют достаточно громоздкий вид).

К основным математическим свойствам средней величины относятся следующие:

1. Произведение средней величины на сумму всех частот равно

сумме произведений индивидуальных значений признака на

соответствующие частоты

2.Сумма отклонений индивидуальных значений признака от

средней величины равна 0:

∑(x−x(ср))= 0 − для несгруппированных данных;

∑(x−x(ср))* f = 0 − для сгруппированных данных.

3.Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней величины меньше суммы квадратов их отклонений от любой другой постоянной величины (х0):

∑(x−x(ср))^2 меньше∑(x−x0)^2 − для несгруппированных данных;

∑(x−x(ср))^2 * f меньше∑(x−x0)^2 * f − для сгруппированных данных

4.Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических этих величин

если xi = yi + zi, то xср = yср + zср.

5.Если все варианты ряда уменьшить (увеличить) в А раз, то средняя уменьшается (увеличивается) в А раз

6. Если все варианты ряда уменьшить (увеличить) на одно и то же число х0, то и средняя величина уменьшиться (увеличиться) на х0

7. Если все частоты ряда разделить (умножить) на одно и то же число b, то средняя не изменится.

Последние три свойства из перечисленных могут использоваться одновременно для упрощения расчетов, и тогда считается, что средняя рассчитывается по «способу моментов» или «методом отсчета от условного нуля».

В данном случае важен факт правильного выбора А (чаще всего это величина интервала) и х0 (чаще всего это середина какого-либо интервала).

Исчисление средней по «способу моментов» производится по формуле, вид которой меняется в зависимости от порядка применения свойств:

или