Основные виды средних величин и техника их расчета по различным рядам распределения. Мажорантность средних величин.

Основанием для расчёта средних величин является определяющее

свойство средней. Оно заключается в том, что сумма (а при исчислении некоторых видов средних – произведение) индивидуальных значений признака равна сумме (произведению) средних значений признака.

Все средние величины делятся на два больших класса:

- степенные средние;

- структурные средние.

Из степенных средних в экономических исследованиях наибольшее распространение получили:

1) средняя арифметическая;

2) средняя гармоническая;

3) средняя геометрическая;

4) средняя квадратическая;

5) другие виды (например, средняя хронологическая).

К структурным средним относят моду и медиану.

Степенные средние в зависимости от представления исходных

данных могут быть:

- простыми;

- взвешенными.

Простая средняя рассчитывается по несгруппированным данным, а взвешенная – по сгруппированным, то есть по дискретным или интервальным рядам, в которых указываются не только значения признака (x), но и частоты (повторяемости) – (f).

1. Наиболее распространённым видом средней величины является

средняя арифметическая. Она может быть:

- простая;

- взвешенная.

Простая средняя арифметическая величина исчисляется в тех случаях, когда имеется несколько различных индивидуальных величин одного и того же вида. Тогда все они суммируются, и полученная сумма делится на их число.

Если обозначить эти индивидуальные значения х1,х2,х3,х4 …, а

число индивидуальных значений (единиц наблюдения) – n, то средняя

арифметическая простая будет равна:

По сгруппированным данным рассчитывается средняя арифметическая взвешенная. Её формула:

Частоты (f) в данном случае называют весами, поэтому средняя арифметическая взвешенная.

Аналогичным образом, по формуле средней арифметической взвешенной, рассчитывается средняя из интервального ряда.

Однако в данном случае где x′− середины или центры интервалов.

2. Средняя гармоническая величина применяется в тех случаях, когда известны индивидуальные значения признака x и произведения x*f, но отсутствуют частоты f.

В данном случае произведение x*f обозначается W и средняя рассчитывается по формуле.

Средняя в такой форме называется средней гармонической взвешенной.

Средняя гармоническая взвешенная определяется по сгруппированным данным. В тех же случаях, когда произведения x*f одинаковы или равны единице, применяется средняя гармоническая простая.

Область применения средней гармонической простой очень узкая: применяется в тех случаях, когда показатели связаны как x и 1.

3. Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда необходимо исчислить среднюю из относительных показателей:

коэффициентов роста в рядах динамики.

Средняя геометрическая равна корню степени n из произведений

коэффициентов роста. Средняя геометрическая простая:

Такая средняя геометрическая носит название простой.

В свою очередь, средняя геометрическая взвешенная может быть определена по формуле

Средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных

функций (то есть когда вместо данных об индивидуальных значениях признака имеются данные об их квадратах).

Например, средний диаметр труб, средняя сторона квадрата и т.д.

Она также может иметь форму простой среднейквадратической:

либо форму взвешенной средней квадратической:

 

5. Другие виды средних величин.

- средняя прогрессивная (рассчитывается при анализе выполнения

норм выработки);

- средняя хронологическая (рассчитывается при анализе развития

явления во времени и т.д.).