Метод логарифмического дифференцирования

 

Метод логарифмического дифференцирования удобен для нахождения производной показательной функции , показательно – степенной функции , а также, если функция представляет собой выражение вида . Этот метод состоит в следующем: данное выражение сначала логарифмируют по основанию е, а затем дифференцируют как тождество, получая уравнение для нахождения производной.

 

Пример

Найти производную функции применяя метод логарифмического дифференцирования.

Решение

Здесь основание и показатель степени зависит от х. Логарифмируем обе части равенства по основанию е:

,

применяя свойства логарифмов, получим

.

Продифференцируем обе части последнего равенства по х, рассматривая у как функцию х:

,

умножим обе части равенства на у и подставим вместо у его выражение , получим

.

Производная функции, заданной неявно

 

Дифференцирование функций, заданных неявно, опирается на возможность почленного дифференцирования тождеств.

В общем случае уравнение почленно дифференцировать нельзя.

Пусть функция задана неявно уравнением и известно, что существует решение этого уравнения в виде ; подставив это решение в уравнение, получим тождество .

Продифференцировав по х, получим уравнение для нахождения производной .

 

Пример

Найти производную функции, заданной неявно: .

Решение

Продифференцируем обе части данного уравнения по аргументу х: