Классический метод моментов

Метод пригоден для оценивания параметров обобщенных распределений с параметром , т.е. в случае трех дополнительных систем непрерывных распределений, заданных плотностями (6.5.2) – (6.5.4). При этом плотности (6.5.3), (6.5.4) должны быть приведены к форме плотности (6.5.2), т.е. представлены в виде

.

7.3.1. Распределения I-III типов при β=1.

Рассмотрим обобщенную плотность (6.5.2) при , которую запишем в виде [9]

. (7.3.1)

Выразим параметры распределения (7.3.1) через центральные моменты. Для этого представим его в дифференциальной форме (при )

. (7.3.2)

Перепишем далее уравнение (7.3.2) в виде

Умножим обе части последнего равенства нa t^r и проинтегрируем на бесконечном интервале (левую часть интегрируем по частям). В результате получим

.

Здесь первое слагаемое обращается в нуль на концах распределения, поскольку значения плотности .

Если начало координат перенесено в центр распределения , то переменная t обозначает отклонение случайной величины от ее среднего значения и поэтому интегралы вида

,

входящие в последнее уравнение, представляют собой центральные моменты распределения (7.3.1) при .

Следовательно, последнее уравнение можно представить в виде

. (7.3.3)

Учитывая, что , из (7.3.3) при r = 0, 1, 2, 3 найдем

 

(7.3.4)

 

Из первого уравнения системы уравнений (7.3.4) получим

, (7.3.5)

т.е. параметр а по абсолютной величине равен математическому ожиданию случайной величины Т.

Решая далее систему уравнений (7.3.4), найдем значения параметров распределений I-III типов

(7.3.6)

где l – параметр сдвига (см. табл. 6.5.1);

(7.3.7)

Если разделить величины А,…, Е на и принять обозначения , введенные К. Пирсоном для показателей асимметрии и островершинности, то получим:

(7.3.8)

Величины А*,…,Е* могут использоваться в формулах (7.3.6) вместо величин А,...,Е.

Выразим величины и через параметры распределения (7.3.1) при . Уравнение (7.3.3) с учетом (7.3.5) позволяет записать рекуррентную формулу для центральных моментов распределений I-III типов

. (7.3.9)

Из (7.3.9) при r = 1,2,3 имеем [9]

(7.3.10)

Выразим с помощью формул (7.3.10) показатели и через параметры формы k, u распределений I-III типов:

(7.3.11)

Обозначим первый сомножитель в формуле для через L и назовем его " критерием L " [9]:

. (7.3.12)

Величину L можно выразить через показатели , . Используя формулы (7.3.6), (7.3.8), из (7.3.12) найдем

. (7.3.13)

Из (7.3.13) следует, что при = 0 справедливо равенство L = .

Таким образом, в случае симметричных распределений критерий L есть не что иное, как показатель островершинности.

Из (7.3.12) следует, что критерий L в случае распределений I типа задан на интервале 1< L <3; для распределений II типа L =3, а для распределений III типа L >3.

Поскольку показатель асимметрии =0 при , что видно из (7.3.11), то распределения I типа при условии являются симметричными. Для них критерий L (обозначим его L_c) равен

. (7.3.14)

Из формул (7.3.10) и (7.3.12) следует, что центральный момент 4-го порядка и критерий L существуют при условии u > –1. А это значит, что по классическому методу моментов может быть найдена лишь незначительная часть выравнивающих распределений III типа, для которых выполняется неравенство

. (7.3.15)

Например, при γ=5 параметр u > – 0,125. Все остальные распределения III типа, а также распределения IV и V типов остаются за пределами применимости классического метода моментов.