Рассмотрим далее распределения II типа.

Тип II. Критерии: u → 0; L = 3.

Кривая распределения задается формулой

. (7.3.16)

Покажем, что для распределений II типа величина

.

При u →0 формулы (7.3.11) дают

(7.3.17)

В общем случае зависимость между показателями и выражается формулой

,

которая следует из (7.3.11).

Подставляя значения и из (7.3.17) в формулу для А *, получим

.

Далее, поскольку D*=C*–a²A *, то при А * = 0 имеем равенство D*=C * и, следовательно, D=C.

С учетом полученных результатов параметры распределения (7.3.16) равны

. (7.3.18)

Их можно также выразить через центральные моменты не выше 3-го порядка [9]:

. (7.3.19)

В заключение отметим, что распределения II типа при приближаются к нормальному закону, так как при этом условии формулы (7.3.17) дают: .

Далее, поскольку для распределений II типа величина А =0, то квадратное уравнение Аа ² +Ва+С= 0 имеет один отрицательный корень.

В случае распределений I типа квадратное уравнение имеет два корня –один положительный, другой отрицательный. Для последующих расчетов необходимо принимать тот корень, знак которого противоположен знаку среднего выборочного.

В случае распределений III типа квадратное уравнение имеет два отрицательных корня. Меньший из них (по абсолютной величине) соответствует распределениям III типа.

 

7.3.2. Распределения I¢, II¢ типов при b=1.

Распределения I¢, II¢ типов заданы плотностью

, (7.3.20)

которая получается из (7.3.1) при .

Выразим параметры распределения (7.3.20) через их центральные моменты.

Представим плотность (7.3.20) в дифференциальной форме

. (7.3.21)

Далее, поступая как и в предыдущем случае (см. п.7.3.1), придем к следующему уравнению

. (7.3.22)

Полученное уравнение позволяет выразить в явном виде параметры распределения (7.3.20) через его центральные моменты не выше 4-го порядка. Придавая величине r значения 0,1,2,3 и учитывая, что , из (7.3.22) получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными а, α, γ, u [9]:

(7.3.23)

Из первого уравнения системы (7.3.23) находим

. (7.3.24)

Далее имеем [9]

(7.3.25)

где величины А,…,Е задаются формулами (7.3.7) или (7.3.8).

Выразим далее центральные моменты распределений I¢, II¢ типов, заданных плотностью (7.3.20), через параметры α, γ, u.

Из (7.3.22) с учетом (7.3.24) найдем

, (7.3.26)

откуда при r = 1, 2, 3 имеем

(7.3.27)

Показатели асимметрии и островершинности на основании (7.3.27) равны

(7.3.28)

Здесь также величина L входит в качестве первого сомножителя в формулу для β₂, т.е.

, (7.3.29)

при этом остается справедливой также формула (7.3.13).

Распределения I ¢, II ¢ типов имеют моменты четвертого порядка при . В этом случае критерий L >3. Как было показано ранее, для распределений III типа также L >3. Но эти три типа распределений различаются с помощью параметра (критерия) u.

Исследования показали, что при |b|=1 кривая распределения I¢ типа представляет собой соответствующую кривую III типа, но смещенную вдоль оси абсцисс на величину .

Между параметрами распределений I¢ и III типов имеются соотношения

, (7.3.30)

где штрихом отмечены параметры распределений I¢ типа.

Формулы (7.3.30) позволяют осуществлять переход от распределения III типа к равносильному распределению I¢ типа. Обратный переход осуществляется по формулам

, (7.3.31)

которые следуют из (7.3.30).

Для обоих типов кривых корни квадратного уравнения Аа ²+ Ва + С =0 отрицательны, причем меньшему по абсолютной величине корню соответствует III тип, а большему – I ¢ тип распределения. При равных корнях имеем распределение II ¢ типа.

Рассмотрим распределения II ¢ типа.

Тип II¢ Критерии: u ®0, L >3. Плотность распределения задается формулой

(7.3.32)

Покажем, что для распределений II¢ типа величина D =0 и дискриминант В ²–4 АС = 0.

Решая совместно три последних уравнения системы (7.3.23) с тремя неизвестными и принимая во внимание обозначения (7.3.7), получим , откуда .

Для распределений II¢ типа параметр u ®0, следовательно,

. (7.3.33)

На основании (7.3.33) можем записать

, (7.3.34)

откуда имеем , т.е. дискриминант ч.т.д.

При D =0 параметр α распределений II¢ типа на основании (7.3.25) и (7.3.33) будет равен

. (7.3.35)

Параметры распределений II¢ типа можно выразить через моменты не выше 3-го порядка. Из первых трех уравнений системы (7.3.23) при u ®0 имеем:

(7.3.36)

В заключение отметим, что распределения II ¢ типа при приближаются к нормальному.

При u ®0 формулы (7.3.28) дают

(7.3.37)

откуда следует, что при как в случае нормального распределения.

Из формул (7.3.28) можно установить зависимость между показателями и :

,

откуда следует, что при k ® ∞ , т.е. как и в случае распределений II типа.

Покажем далее, что семейство кривых К. Пирсона является частным случаем системы непрерывных распределений автора, которая задана обобщенной плотностью (7.3.1) при |b|=1.

Действительно, если в дифференциальное уравнение (7.3.2) вместо параметров α, γ, u подставить их значения из (7.3.6), то после преобразований будем иметь [9]

. (7.3.38)

Разделив числитель и знаменатель правой части последнего уравнения на величину 2(А +3 Е), получим дифференциальное уравнение К. Пирсона

, (7.3.39)

множество решений которого составляет семейство кривых распределения К.Пирсона. При этом классификация распределений осуществляется в зависимости от значений дискриминанта b ²–4 ас, откуда следует критерий К.Пирсона k=b ² / 4 ac.

В семействе кривых К. Пирсона область выше распределений II¢ типа занимают распределения IV типа по K. Пирсону, для которых 0< k <1, а дискриминант b ²–4 ac <0.

Таким образом, семейство кривых К. Пирсона является частным случаем системы непрерывных распределений автора, заданной обобщенной плотностью (7.3.1) при .

При уравнение (7.3.1) можно представить в виде

 

, (7.3.40)

где коэффициенты a_m, b_m являются функциями параметров α, β, γ, u. При целых β величина ; при нецелых β величина m = ¥.

В заключение отметим, что после нахождения оценок всех параметров распределения (7.3.1) при выравнивающие распределения I-III типов должны быть записаны в виде

, (7.3.41)

где l - параметр сдвига. Он равен величине смещения начала выравнивающей кривой распределения относительно начала координат. При этом

.

Распределение I¢ типа запишется в виде

. (7.3.42)

Поскольку здесь , то отношение и, следовательно, в формулах (7.3.41), (7.3.42) параметр g= k.