Метод наименьших квадратов

Этим методом могут быть найдены оценки параметров распределений группы А.

Рассмотрим распределения I – III типов группы А. Преобразуем функцию распределения

к уравнению прямой

. (7.1.1)

Построив по эмпирической функции распределения график зависимости (7.1.1) (при известной оценке параметра u) и убедившись, что опытные точки рассеиваются вдоль прямой, по методу наименьших квадратов найдем оценки величин . Введем обозначения:

Тогда вместо формулы (7.1.1) запишем

. (7.1.2)

Оценки параметров (при заданном значении параметра u) по методу наименьших квадратов будут равны

, (7.1.3)

(7.1.4)

Для оценки тесноты связи между переменными Y, X при различных значениях параметра u вычисляется выборочный коэффициент корреляции

(7.1.5)

В качестве оценки параметра u следует принять то его значение, при котором коэффициент корреляции максимален.

Аналогично приводятся к уравнению прямой функции распределения остальных типов.

Тип II: .

Вводя обозначения , получим уравнение прямой (7.1.2).

Тип II¢: .

Типы I¢, III¢: .

Из рассмотренных примеров видно, что главная трудность здесь заключается в выборе подходящего значения параметра u. Его можно найти путем подбора и вычисления при каждом значении u коэффициента корреляции. Однако имеется возможность оценить его более простым и быстрым методом.

Если построить кривую распределения в форме и график функции распределения , то мода , т.е. точка, в

которой произведение tp(t) максимально, равна

,

откуда . Подставив значение t_c в функцию распределения, получим [9]

. (7.1.6)

Последняя формула справедлива для распределений I-III типов группы А. Для распределений I¢-III¢ типов справедливо равенство

. (7.1.7)

В таблице 7.1.1 приведены значения F(t_c), рассчитанные по формулам (7.1.6), (7.1.7).

Таблица 7.1.1

Значение функции распределения F(t_c)

 

Параметр u			Тип кривой
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1	0,9226 0,8663 0,8209 0,7828 0,7500 0,7211 0,6954 0,6723 0,6513	0,0774 0,1337 0,1791 0,2172 0,2500 0,2789 0,3046 0,3277 0,3487	I, I¢
	0,6321	0,3679	II, II¢
-0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 -1,5 -2 -2,5 -3 -4 -5 -10 -20 -30 -∞	0,5981 0,5688 0,5431 0,5204 0,5000 0,4571 0,4226 0,3941 0,3700 0,3313 0,3012 0,2132 0,1412 0,1082	0,4019 0,4312 0,4569 0,4796 0,5000 0,5429 0,5774 0,6059 0,6300 0,6687 0,6988 0,7868 0,8588 0,8918	III-III¢

На основании полученных результатов можно рекомендовать следующий порядок установления типа выравнивающего распределения группы А и нахождения оценок параметров на примере плотности p(t).

1. Выбрать за начало отсчета значений случайной величины Т начало кривой распределения.

2. Найти эмпирическую моду кривой распределения .

3. Найти эмпирическое значение функции распределения в точке C и приравнять теоретическому.

4. С помощью таблицы 7.1.1 определить два значения параметра u (в предположении, что выравнивающее распределение относится либо к I-III, либо к I¢-III¢ типам).

5. По двум значениям параметра u определить два типа возможных выравнивающих распределений.

6. Для обоих типов распределений путем построения графиков проверить, ложатся ли опытные точки на прямые.

7. В качестве выравнивающего принять наиболее подходящее распределение.

Таким же образом могут быть найдены оценки параметров распределений группы А, заданных плотностями р(х), р(у). При этом плотность р(у) должна быть приведена к форме .