Построение системы непрерывных распределений методом обобщения

Памятка студенту

Когда ты хочешь много знать,

Не тратя лишних сил и времени,

Старайся чаще применять

Волшебный метод обобщения!

Рассмотрим три простейших распределения: равномерное, треугольное убывающее и треугольное возрастающее [9, 11].

В первом случае плотность вероятности и функция распределения задаются формулами

р(t)= a; F(t)= at= 1 –( 1 –at). (6.2.1)

Во втором случае

. (6.2.2)

В третьем случае

. (6.2.3)

Обобщим попарно функции распределения (6.2.1), (6.2.2) и (6.2.1), (6.2.3) путем введения новых параметров.

В первом случае получим

. (6.2.4)

Во втором случае

. (6.2.5)

 

 

Рис. 6.2.1. Последовательность обобщения простейших непрерывных распределений.

 

Теперь замечаем, что в формуле (6.2.4) имеется параметр u, но его нет в формуле (6.2.5). Введем его в последнюю формулу. В результате получим

, (6.2.6)
откуда дифференцированием по t найдем плотность распределения

. (6.2.7)

Последняя плотность может быть еще более расширена за счет введения нового параметра формы. Параметр b в формуле (6.2.7) используется дважды в качестве показателя степени. Пусть это будут два разных параметра. Тогда вместо (6.2.7) можем записать [9]

. (6.2.8)

В итоге получена обобщенная плотность распределения с четырьмя параметрами a, b, g, u. Нормирующий множитель N выражается через эти параметры из условия нормировки

.

Последовательность обобщения простейших распределений показана на рис. 6.2.1.