Симметричные распределения Ic-IIIc типов

Рассмотрим симметричные распределения Ic-IIIc типов, заданные плотностью

(7.3.43)

или в дифференциальной форме

.

Запишем последнее уравнение в виде

.

Умножим обе части полученного равенства на t^r и проинтегрируем на бесконечном интервале. В результате получим

. (7.3.44)

При r =1 и r =3 из (7.3.44) найдем

, (7.3.45)

. (7.3.46)

Тогда показатель островершинности будет равен

. (7.3.47)

Последняя формула совпадает с формулой (7.3.14). Величина в зависимости от типа распределения принимает значения (при u >–2/3, или ): - для Ic типа; =3 – для IIc типа (нормального закона); >3 – для IIIc типа.

Отсюда следует, что показатели могут служить критериями для различения распределений Ic-IIIc типов.

Выразим параметры симметричных распределений Iс-IIIc типов через их центральные моменты.

В случае нормального закона (тип IIc) оценка параметра α равна

. (7.3.48)

Оценки параметров α, u распределений Ic, IIIc типов равны

, (7.3.49)

 

, (7.3.50)

при этом остается также справедливой общая формула

, (7.3.51)

полученная ранее для распределений I-III, I¢, II¢ типов при .

Действительно, поскольку для симметричных распределений показатель , то на основании (7.3.8) имеем:

.

Тогда формула (7.3.51) в этом частном случае примет вид

,

что совпадает с (7.3.50).

Таким образом, показатели L, u могут служить критериями для классификации как симметричных распределений с параметрами , так и других распределений I-III, I¢, II¢ типов с параметром .