Центральная предельная теорема для трех систем непрерывных распределений

Используя теорию производящих функций, можно показать, что для первой системы непрерывных распределений, заданной обобщенной плотностью

,

моменты суммы n независимых одинаково распределенных случайных величин связаны с моментами случайной величины Х_i формулами (7.4.33).

Производящая функция в этом случае есть

,

где t – вспомогательный параметр.

Выразим на основании формул (7.4.33) показатели асимметрии и островершинности распределения суммы n независимых одинаково распределенных случайных величин и через аналогичные показатели отдельной случайной величины Х_i, т.е. и :

(7.4.34)

Из формул (7.4.34) немедленно следует центральная предельная теорема теории вероятностей (для первой системы непрерывных распределений):

распределение суммы n независимых одинаково распределенных случайных величин с ростом n приближается к нормальному закону

, (7.4.35)

для которого =0, =3. При этом на номограмме (Приложение 2) точка с координатами с ростом n перемещается по прямой от точки (, ) исходного распределения (случайной величины Х_i) к точке (0,3) нормального закона, оценки параметров которого равны

. (7.4.36)

Формулы (7.4.33), (7.4.34) позволяют также переходить от распределения суммы n независимых одинаково распределенных случайных величин к распределению отдельной случайной величины Х_i.

Полученные выше результаты остаются в силе и для обобщенной плотности

,

т.е. в случае второй системы непрерывных распределений, если ее привести к форме плотности р (х), т.е. представить в виде

.

Моменты случайной величины будут задаваться формулами

Формулировка центральной предельной теоремы несколько изменится: распределение суммы логарифмов n независимых одинаково распределенных случайных величин с ростом n приближается к нормальному закону, а произведение n случайных величин Т=Т ₁ Т ₂ …Т_n – к логарифмически нормальному закону

, (7.4.37)

для которого =0, =3. Оценки параметров ν_1(n), α задаются формулами (7.4.36).

И, наконец, в случае третьей системы непрерывных распределений, заданных обобщенной плотностью

,

полученные выше результаты остаются справедливыми, если ее также привести к форме плотности р (х), т.е. представить в виде

.

Тогда моменты случайной величины будут задаваться формулами

Центральная предельная теорема сформулируется в виде: распределение суммы двойных логарифмов n независимых одинаково распределенных случайных величин с ростом n приближается к нормальному закону, произведение – к логарифмически нормальному закону, а величина – к двойному логарифмически нормальному закону

, (7.4.38)

для которого =0, =3.

Здесь также оценки параметров n_1(n) , α задаются формулами (7.4.36).