Законы распределения среднего выборочного

Рассмотрим n случайных величин, распределенных по одному и тому же закону, заданному, например, обобщенной плотностью р(х) (или p(t), или р(у)).

Найдем закон распределения среднего выборочного , (или , или ) по заданному закону распределения случайной величины Х (или , или lnlnY).

Для решения этой задачи достаточно найти центральные моменты (2–4)-го порядков среднего арифметического n независимых одинаково распределенных случайных величин и вычислить показатели асимметрии и островершинности. Далее по универсальному или классическому методу моментов с помощью программы легко устанавливается тип искомого распределения и вычисляются оценки его параметров.

Известно, что математическое ожидание среднего арифметического n независимых случайных величин с одинаковыми средними равно среднему отдельной случайной величины

. (7.4.39)

Найдем далее центральные моменты выборочного среднего. Для этого вначале докажем, что постоянный множитель можно выносить за знак центрального момента r -го порядка, возведя его в r -ю степень:

. (7.4.40)

Действительно,

.

На основании (7.4.40) имеем:

.

Поскольку для n независимых одинаково распределенных случайных величин справедливо равенство (7.4.24)

,

то из предыдущего выражения получим

. (7.4.41)

Найдем центральный момент третьего порядка выборочного среднего. На основании равенства (7.4.40) можем записать

.

Поскольку (см. формулу (7.4.27)), то из предыдущего выражения получим

. (7.4.42)

Для центрального момента четвертого порядка среднего выборочного можем записать

.

Поскольку для суммы n независимых одинаково распределенных случайных величин справедливо равенство (7.4.32)

,

то из предыдущей формулы получим

. (7.4.43)

Таким образом, моменты среднего арифметического n независимых одинаково распределенных случайных величин выражаются через моменты отдельной случайной величины посредством формул

(7.4.44)

Из формул (7.4.33) и (7.4.44) найдем взаимосвязь между моментами суммы и среднего арифметического n независимых одинаково распределенных случайных величин:

(7.4.45)

Из (7.4.45) следует, что показатели асимметрии и островершинности для распределений суммы и среднего арифметического n независимых одинаково распределенных случайных величин одни и те же.

Зная центральные моменты, а также показатели асимметрии и островершинности, по универсальному или классическому методу моментов нетрудно найти закон распределения среднего арифметического и, следовательно, вычислить доверительные границы для среднего выборочного при заданной доверительной вероятности и любом заданном значении n. С ростом n распределение среднего выборочного (или , или ) приближается к нормальному закону (центральная предельная теорема в случае первой системы непрерывных распределений).

В случае второй системы - распределение среднего геометрического случайной величины Т

с ростом n приближается к логарифмически нормальному закону.