В случае третьей системы - распределение среднего геометрического логарифмов отдельных случайных величин

с ростом n приближается к логарифмически нормальному закону, а величина

- к двойному логарифмически нормальному закону.

При n > 100 распределение среднего выборочного (или , или ) можно считать нормальным.

Действительно, если распределение случайной величины Х (или , или ) характеризуется показателями (в случае трех основных систем непрерывных распределений), то распределение среднего арифметического n = 100 независимых одинаково распределенных случайных величин на основании формул (7.4.34) будет иметь показатели

, (7.4.46)

т.е. близкие к нормальному закону.

Отметим, что формулы (7.4.34) и (7.4.44) позволяют переходить от распределения среднего арифметического n независимых одинаково распределенных случайных величин к распределению отдельной случайной величины.

Полученные результаты вскрывают характер изменения показателей с изменением числа n независимых одинаково распределенных случайных величин: с ростом n точка с координатами () приближается к точке (0; 3) по кратчайшему пути, т.е. по прямой

, (7.4.47)

которая следует из (7.4.34).

При этом степень приближения к нормальному закону при больших n зависит от исходных значений показателей случайной величины Х_i.

Установим минимально необходимое значение n, при котором распределение среднего арифметического n независимых одинаково распределенных случайных величин можно считать нормальным.

Рассмотрим рис. 7.4.2. На нем точкой А () обозначено распределение случайной величины Х_i.

Распределение среднего арифметического n независимых одинаково распределенных случайных величин представлено точкой В ().

Заштрихованная площадь – это область нормального закона. Она ограничена двумя вертикальными и двумя наклонными отрезками прямых, тангенс угла наклона которых к горизонтальной оси принят равным 1,75. Область нормального закона может быть задана и другими способами.

 

Рис. 7.4.2. Фрагмент номограммы в области нормального закона

Если при некотором значении n точка В (или В ¢) попадает на границу или внутрь заштрихованной области, то закон распределения среднего арифметического можно считать нормальным.

Пусть точка В находится на правой вертикальной границе области нормального закона (см. рис. 7.4.2). При этом условии минимально необходимое значение n можно найти из формулы

при :

. (7.4.48)

Если точка В займет положение В ¢, то она будет являться точкой пересечения двух наклонных прямых, которые задаются уравнениями

; .

Приравнивая правые части этих уравнений, найдем

. (7.4.49)

Из двух полученных значений n выбираем большее.

Если в формулах (7.4.48), (7.4.49) принять , то значения параметра u выравнивающих распределений по абсолютной величине будут несколько меньше 0,02 (для нормального закона u →0).

Рассмотрим пример.

Пусть случайная величина Х_i описывается распределением II¢ типа:

(7.4.50)

с параметрами: α = 12; k = 5. Тогда теоретические моменты будут равны (см. формулы (7.3.24), (7.3.27) при u →0, γ = k):

Показатели асимметрии и островершинности на основании (7.3.37) равны:

Найдем по формулам (7.4.48), (7.4.49) минимально необходимое значение n (объем выборки), при котором распределение среднего арифметического n независимых одинаково распределенных случайных величин можно считать нормальным.

При имеем:

.

Принимаем n = 420.

На практике часто ограничиваются небольшими значениями n .

Пусть n = 25. Тогда распределение среднего арифметического n независимых одинаково распределенных случайных величин будет иметь моменты (см. формулу 7.4.44):

Показатели асимметрии и островершинности равны:

Контроль:

.

Выравнивающее распределение среднего арифметического при n =25 может быть описано обобщенной плотностью

(точнее, распределением III типа первой системы непрерывных распределений) с параметрами

и нормирующим множителем N = 3,194777E–10.

Зададим доверительную вероятность P = 0,9973 и найдем по одной из программ (например, ) доверительный интервал для среднего арифметического: . Его ширина составляет .

Для сравнения по той же программе найдем доверительный интервал при условии справедливости нормального закона: . Его ширина составляет , т.е. ошибка в определении границ доверительного интервала по нормальному закону оказалась существенной.

Полученные выше формулы (7.4.48) и (7.4.49) можно использовать также для вычисления минимально необходимого значения n, при котором распределение среднего арифметического логарифмов n независимых одинаково распределенных случайных величин можно считать нормальным.

Используя универсальный метод моментов, для рассмотренной выше плотности II¢ типа с параметрами , приведенной к форме , найдем:

Показатели асимметрии и островершинности равны:

.

Далее по формулам (7.4.48) и (7.4.49) имеем (при )

.

Принимаем n = 5.

Итак, если случайная величина Х задана плотностью (7.4.50), то распределение среднего арифметического логарифма случайной величины Х близко к нормальному закону уже при n = 5, а распределение среднего арифметического самой случайной величины Х близко к нормальному закону при значительно большей величине n (n = 420).

Если же центральные моменты высоких порядков не существуют (например, ), то и величина , т.е. распределение среднего арифметического случайной величины Х ни при каком n не приближается к нормальному закону.