Выравнивание по классическому методу моментов

Рассмотрим примеры на выравнивание статистических распределений обобщенными плотностями.

В табл. 8.2.1 приведена группировка колхозов и совхозов Республики Беларусь по урожайности основных сельскохозяйственных культур в 1992 г. по данным Госкомстата Республики Беларусь: а) зерновые и зернобобовые культуры; б) картофель.

К сожалению, группировка выполнена не совсем корректно: для анализа табличных данных желательна разбивка на интервалы равной ширины, причем не должно быть открытых интервалов, таких, как до 15ц/га, более 55 ц/га.

Пример 1.

Рассмотрим статистическое распределение хозяйств Минской области по урожайности зерновых и зернобобовых культур в 1992 г. (см. табл. 8.2.2, графы 1 – 3).

 

Табл. 8.2.1

 

Группировка колхозов и совхозов Республики Беларусь

по урожайности основных сельскохозяйственных культур в 1992 г.

а) Зерновые и зернобобовые культуры

 

Сбор с 1 га ц	РБ	Число хозяйств по областям
Брестская	Витебская	Гомельская	Гродненская	Минская	Могилевская
до 15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 >55		-	- -	-	- -	-	-
Итого:

 

 

б) Картофель

 

Сбор с 1 га ц	РБ	Число хозяйств по областям
Брестская	Витебская	Гомельская	Гродненская	Минская	Могилевская
до 50 50-75 75-100 100-125 125-150 150-175 175-200 200-225 225-250 250-300 >300			-	-	-	- -	- -
Итого:

 

Табл. 8.2.2

Распределение колхозов и совхозов Минской области

по урожайности зерновых и зернобобовых культур в 1992 г.

 

Сбор с 1 га ц.	Середина интерв. ti	Число хозяйств	Теорет. плотность p(ti)	Теорет. частота mi=p(ti)Mh
5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55	7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5	-		0,00009 0,00410 0,02347 0,04984 0,05641 0,03978 0,01875 0,00604 0,00132 0,00019	60,79 129,09 146,10 103,03 48,56 15,64	0,067   0,170 0,000 0,698 1,391 0,261 0,026   0,002

 

Требуется: используя классический метод моментов, найти выравнивающее распределение, оценить его параметры, рассчитать значения плотности в серединах каждого интервала, оценить степень близости выравнивающей кривой к статистическому распределению.

Решение. Вычислим по данным табл. 8.2.2. среднюю урожайность, дисперсию, центральные моменты 3-го и 4-го порядков и некоторые другие показатели.

Так как данные сгруппированы (в 9 интервалов равной ширины h =5), то моменты вычисляем по формулам

.

В результате найдем

.

Тогда среднее квадратическое отклонение S и коэффициент вариации V будут равны:

.

Приравнивая эмпирические моменты соответствующим теоретическим, вычислим показатели асимметрии и островершинности, а также критерий L

.

По рис. 7.3.1 находим, что выравнивающее распределение относится к I типу с параметром β = 1, поскольку L<;3. В этом случае оценки параметров находятся по формулам (7.3.6):

где величины А,…,Е выражены через показатели и центральные моменты с помощью формул (7.3.8):

Подставляя в последние формулы оценки показателей и соответствующих центральных моментов, получим

А =–0,343314; В =12,17618; С =546,0952; Е =1,872575.

Решим далее квадратное уравнение Аа²+Ва+С =0.

Корни его равны:

а ₁=–25,91447; а ₂=61,38106.

Для одного из корней должно выполняться равенство а =–n₁ (хотя бы в первом приближении). Поэтому параметр а здесь равен (при )

а = –25,91447.

Тогда D = 2C + aB = 776,6512.

Теперь можно рассчитать оценки параметров по формулам (7.3.6):

.

Нормирующий множитель N равен

.

Выравнивающее распределение задается формулой (7.3.41)

,

где

Подставляя сюда оценки параметров и нормирующего множителя N, рассчитаем в серединах каждого интервала значения плотности вероятностей (см. табл. 8.2.2. графа 4).

Все приведенные здесь расчеты выполнялись по программе SNR1MM97.

Оценки параметров u, , можно найти по номограмме (Приложение 2). При заданных значениях с учетом неравенства имеем: u ¢ = 0,10; k ¢ = 25. Тогда u = 1/ k ¢ = 0,04; k = 1/ u ¢ = 10.

Эти оценки близки к найденным оценкам по программе.

Оценим далее степень близости выравнивающей кривой к статистическому распределению по критерию «xu -квадрат» К. Пирсона:

,

где n – число интервалов.

Умножим значения плотности на величину . Получим теоретические частоты в каждом интервале (графа 5).

Объединим два последних интервала в один, что рекомендуется делать при частоте m_i < 5, и вычислим для каждого интервала (всего 8 интервалов) значения величин (графа 6). При этом теоретическая частота первого интервала (0,23) добавлена к частоте второго интервала.

Критерий оказался равным 2,615. По таблице квантилей - распределения (Приложение 4) при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы r =8–4–1=3 (8 – число интервалов статистического распределения, 4 – число параметров выравнивающего распределения) найдем критическое значение . Оно равно 7,815. Поскольку , то нет оснований для отклонения гипотезы о том, что закон распределения хозяйств Минской области по урожайности зерновых и зернобобовых культур в 1992 г. относится к распределению I типа (бета-распределению) с найденными оценками параметров.

По таблице - распределения (Приложение 4) при известном числе степеней свободы (r = 3) и = 2,615 можно также найти вероятность Р(). В данном случае она равна 0,462. Это значит, что наблюденное расхождение могло появиться за счет случайных причин с вероятностью 0,462.

Поскольку эта вероятность достаточно высокая, т.е. значительно больше обычно принимаемого критерия значимости α = 0,05, то нет оснований отвергать принятую гипотезу о выравнивающем распределении.

Теперь можно построить гистограмму и кривую распределения. Для построения гистограммы необходимо вычислить эмпирическую плотность в каждом интервале. Она рассчитывается по формуле

,

где - число хозяйств в i -ом интервале; h – ширина интервала.

Кривая распределения строится по значениям теоретической плотности в серединах интервалов.

Результаты представлены на рис. 8.2.1. На графике отмечена средняя урожайность ц/га, а также нижняя t_н = 16,65 и верхняя t_в =39,22 90%-ные границы.

Это значит, что 90% хозяйств имели урожайность зерновых и зернобобовых на интервале t_н<t<t_в.

Дальнейшие расчеты показывают, что из семи статистических распределений, заданных таблицей 8.2.1а, только одно (Гродненская область) описывается обобщенной плотностью

при u <0, т.е. кривой III типа. Остальные шесть распределений описываются плотностью (7.3.41)

с параметром u > 0, т.е. кривыми I типа. Это – известные бета-распределения.

 

Рис. 8.2.1. Распределение колхозов и совхозов Минской области по урожайности зерновых и зернобобовых культур в 1992 г.

 

Кривые распределения несколько различаются как по расположению на горизонтальной оси, так и по форме. Так, кривая распределения хозяйств Брестской области по урожайности зерновых и зернобобовых культур смещена вправо относительно аналогичной кривой для Республики в целом, а кривая по Витебской области – влево. Последняя кривая отличается сильной правосторонней асимметрией. Такая форма кривой может свидетельствовать о том, что меньшая урожайность уже вряд ли возможна, а также о наличии резервов повышения урожайности либо о неблагоприятных климатических и других условиях для данной культуры.

Пример 2

Табл. 8.2.3

Интервальный ряд распределения предела прочности на растяжение портландцементного раствора 28-дневного возраста [8, c.269]

 

Интервал в кг/см2	Середина интерв. ti	Эмпирическая частота	Теорет. плотность p(ti)	Теорет. частота mi=p(ti)Mh
15,5-16,5 16,5-17,5 17,5-18,5 18,5-19,5 19,5-20,5 20,5-21,5 21,5-22,5 22,5-23,5 23,5-24,5 24,5-25,5 25,5-26,5 26,5-27,5			0,00404 0,02713 0,07837 0,14217 0,18810 0,19449 0,16208 0,10966 0,05952 0,02506 0,00766 0,00151	78,37 142,17 188,10 194,49 162,08 109,66 59,52 25,06	0,26 0,24 0,12 0,19 0,29 0,23 0,29 0,10 0,15

Требуется: по данным табл. 8.2.3 (графы 1 – 3) найти по классическому методу моментов выравнивающее распределение, оценить его параметры, рассчитать значения плотности в серединах каждого интервала, оценить степень близости выравнивающей кривой к статистическому распределению. Найти границы доверительного интервала при заданной доверительной вероятности Р = 0,9545.

Решение. Вычислим по статистическим данным с помощью программы SNR1MM97 среднее значение предела прочности, дисперсию, центральные моменты 3 и 4-го порядков и другие показатели.

В результате найдем:

.

Среднее квадратическое отклонение S и коэффициент вариации V равны:

.

Приравнивая эмпирические моменты соответствующим теоретическим, вычислим показатели асимметрии и островершинности, а также критерий L

.

Поскольку L < 3, выравнивающее распределение относится к I типу с параметром b=1 и задается плотностью

.

Вычислим значения величин А,…,Е:

Решим далее квадратное уравнение Аа²+Ва+С= 0. Корни его равны: а ₁ = – 6,59544; а ₂ = 9,824492.

Поскольку , то параметр а здесь равен а = –6,59544.

Тогда D= 2 С+аВ= 68,35499.

Теперь можно рассчитать оценки параметров:

Нормирующий множитель N = 5,314906·10^–4.

Кривая распределения задана на интервале 14,27656<t<30,69649.

Рассчитаем при найденных оценках параметров и нормирующего множителя N значения плотности вероятностей (см. табл. 8.2.3, графа 4). Умножив значения плотности на М·h = 1000, получим теоретические частоты в каждом интервале (графа 5).

Вычислим критерий «xu -квадрат» К. Пирсона. Объединив частоты двух первых и двух последних интервалов, получим . Далее по таблице – распределения при числе степеней свободы (число интервалов после объединения стало равным 10; 4 – количество параметров обобщенного распределения) и найдем вероятность того, что за счет случайных причин мера расхождения между статистическим и выравнивающим распределениями будет не менее 1,87. Эта вероятность достаточно высокая – . Это значит, что нет оснований для отклонения принятой гипотезы о выравнивающем распределении.

Вычислим по Программе нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала при доверительной вероятности Р = 0.9545: t_н = 17,25485; t_в =24,88674. При этом значение функции распределения F(t_н)= 0,02275; F(t_в)= 0,97725. Ширина доверительного интервала равна 7,63189 кг/см² и составляет 3,92874 средних квадратических отклонений.