Первая система непрерывных распределений

Пусть распределение случайной величины Х описывается первой системой непрерывных распределений, причем тип выравнивающей кривой и оценки ее параметров заданы.

Пусть далее известно, что все значения х_i (i = 1,2,…, n) изменятся на постоянную величину С.

Требуется найти распределение случайной величины Х + С.

Рассмотрим первую плотность первой системы непрерывных распределений

.

Обозначим новое значение случайной величины Х через Х *, при этом

Х*=Х+С. (8.3.1)

Тогда распределение новой случайной величины Х * определится по формуле

. (8.3.2)

Поскольку на основании (8.3.1) dх/dх * = 1, то

p(х*) = p(х), (8.3.3)

или с учетом плотности р (х) и (8.3.1)

(8.3.4)

Введя обозначения

, (8.3.5)

 

последнюю плотность перепишем в виде

. (8.3.6)

Таким образом, смещение случайной величины Х на постоянную С приводит к изменению параметра сдвига α и нормирующего множителя N. Параметры формы k, u не изменяются, т.е. не изменяется форма кривой распределения и, следовательно, характеризующие ее показатели (центральные моменты 2-4 порядков и др.).

Поскольку случайные величины Х и Х * связаны функциональной зависимостью, причем с ростом Х растет и Х *, то их функции распределения равны

F (x *) = F (x). (8.3.7)

Аналогично найдем, что при увеличении случайной величины Т на постоянную С, т.е. при Т*=Т+С параметры положения (сдвига) второй и третьей плотностей первой системы непрерывных распределений будут равны

. (8.3.8)

Остальные параметры и нормирующий множитель останутся без изменения. При этом вторая и третья плотности первой системы непрерывных распределений примут вид

, (8.3.9)

. (8.3.10)

Чтобы рассчитать новые значения плотности распределения с учетом смещения С, в случае первой системы непрерывных распределений достаточно сместить на С значения случайной величины без изменения значений плотности распределения.

Если распределение случайной величины Х задано моментами , то ими можно воспользоваться для прогнозирования распределения.

Пусть . Найдем центральные моменты :

.

Таким образом, в случае сдвига случайной величины Х на постоянную С центральные моменты, а также среднее квадратическое отклонение, не изменятся. Изменится только среднее, что повлечет за собой изменение коэффициента вариации.

По известным моментам случайной величины Х*=Х+С легко найти выравнивающее прогнозируемое распределение.

Рассмотрим далее случай, когда последующие значения случайной величины Х образуются из предыдущих путем их умножения на постоянную величину С: .

Тогда ,

.

Показатели асимметрии и островершинности не изменятся:

По известным моментам случайной величины Х легко находятся моменты случайной величины . Далее по методу моментов нетрудно найти выравнивающее распределение.

Отметим, что в этом случае коэффициент вариации не изменится, поскольку и среднее, и среднее квадратическое отклонение увеличиваются в С раз.