Закон Ньютона для внутреннего трения

Пусть в некотором направлении движется ламинарный[7] поток жидкости – см. рисунок 1. Направим в направлении потока ось OX, а перпендикулярно ей – ось OY. Разобьём жидкость на элементарные (бесконечно тонкие) слои и рассмотрим взаимодействие двух произвольных соседних слоёв толщиной dy.

X

Направление потока

dy

dy

dS

υ

υ; + dυ

d F1

d F2

Y

Рис. 3.1. Силы трения между слоями

По-видимому, силы взаимодействия между слоями зависят от площади поверхности контакта, поэтому выберем в рассматриваемых слоях малые элементы 1 и 2, у которых площадь контакта равна dS. На нижний элемент 1 действует ускоряющая сила d F ₁, направленная вдоль его скорости υ;, на верхний элемент 2 – тормозящая сила d F ₂, направленная против его скорости . Согласно третьему закону Ньютона,

, . (3.1)

Ньютон предположил, что сила внутреннего трения dF пропорциональна площади поверхности контакта dS [8] и разности скоростей слоёв d 𝑣:

(3.2)

Дифференциал скорости d 𝑣 можно представить в виде:

. (3.3)

Далее Ньютон, по всей вероятности, рассуждал так: именно вдоль оси OY, перпендикулярной скорости движения слоёв, скорость меняется наиболее быстро, поэтому

. (3.4)

Подстановка (3.4) и (3.3) в (3.2) даёт:

. (3.5)

Следующая идея: сила взаимодействия между слоями не должна зависеть от толщины слоёв dy. Как к этой мысли пришёл Ньютон, неизвестно, но с точки зрения молекулярно-кинетической теории это можно объяснить следующим образом. Элементарный слой жидкости – очень тонкий, но всё же он имеет конкретную толщину d _с, которая примерно равна диаметру молекулы жидкости. Слой толщиной dy – тоже тонкий, но не обязательно элементарный. Как отмечалось выше, взаимодействие между соседними слоями определяется только взаимодействием между ближайшими молекулами, расположенными по разные стороны от границы между слоями, то есть между молекулами элементарных слоёв. Поэтому, если толщина слоя dy больше d _с, то на силу dF влияют не все молекулы слоя, а только молекулы элементарного слоя, расположенного вдоль границы контакта. Вот и получается, что от величины dy сила dF не зависит. Итак, в формуле (3.5) множитель dy надо убрать. В итоге получается:

. (3.6)

Буквой h обозначен коэффициент пропорциональности, который может зависеть только от особенностей жидкости, то есть от состава и строения её молекул. Чем больше значение h, тем сильнее взаимодействуют между собой соседние слои жидкости, тем более вязкой является жидкость. Поэтому величину h называют коэффициентом внутреннего трения или динамической вязкостью.

Формулу (3.6) удобно переписать так, чтобы в ней не было дифференциалов. Для этого надо поделить левую и правую часть на dS и обозначить

. (3.7)

В результате получается формула, которую называют законом Ньютона для внутреннего трения:

. (3.8)

Физический смысл величины f – это сила внутреннего трения, действующая между соседними слоями единичной площади, поэтому её называют удельной силой внутреннего трения.

Итак, удельная сила внутреннего трения зависит только от двух факторов: от градиента скорости в потоке жидкости и от коэффициента внутреннего трения, который есть некоторая константа, характеризующая свойства данной жидкости.

Примечание. Формула (3.8) применима и в том случае, когда взаимодействующие слои находятся по разным сторонам поверхности контакта жидкости и находящегося в ней тела. В этом случае формула (3.8) позволяет определить силу, действующую на тело со стороны жидкости. В зависимости от направления этой силы, она может выполнять разные роли: например, может быть силой сопротивления или подъёмной силой.