Краткая теорияКоэффициент Пуассона g – это параметр адиабатного процесса. Он входит в известное уравнение Пуассона, описывающее адиабатный процесс в идеальном газе. Рассмотрим, что это за уравнение и как оно выводится. Адиабатным называется процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой, =0. На практике он может быть осуществлен в системе, окруженной теплоизоляционной оболочкой, но поскольку для теплообмена необходимо некоторое время, то адиабатным можно считать также процесс, который протекает так быстро, что система не успевает вступить в теплообмен с окружающей средой. Для получения уравнения адиабатного процесса удобно начать с первого закона термодинамики. Согласно первому закону термодинамики количество теплоты , сообщённое системе, расходуется на увеличение внутренней энергии dU и на выполнение системой работы : . (3.1) Увеличение внутренней энергии идеального газа в случае изменения его температуры на равно: . (3.2) Здесь i – число степеней свободы молекулы, под которым подразумевается число независимых координат, определяющих положение молекулы в пространстве: i = 3 для одноатомной молекулы, i = 5 – для двухатомной, i = 6 – для многоатомной, R – универсальная газовая постоянная, . Работа газа определяется выражением: . (3.3) Для адиабатного процесса из формул (3.1) – (3.3) следует: . (3.4) Это – дифференциальное уравнение, связывающее два дифференциала dT и dV. Но в нём присутствуют не функции T и V, а функция P. Поэтому надо либо функцию P выразить через T и V, либо один из дифференциалов dT или dV выразить через дифференциал dP. Последнее можно сделать, продифференцировав уравнение Клапейрона – Менделеева. . (3.5) Подставив (3.5) в (3.4), получим: . Решение этого дифференциального уравнения можно получить методом разделения переменных. Для этого разделим обе части уравнения на PV. . Проинтегрировав левую и правую часть получаем: . Потенцирование этого уравнения даёт: . Последнее уравнение и есть упоминавшееся выше уравнение Пуассона. Для краткости в нём показатель степени обозначают одной буквой g и называют показателем адиабаты или коэффициентом Пуассона. Итак, уравнение Пуассона имеет вид: . (3.6) Интересно, что коэффициент Пуассона можно выразить через теплоёмкости газа при постоянном давлении и при постоянном объёме. Отметим сначала, что физическая величина «теплоёмкость» бывает трёх типов: полная, удельная и молярная. Полная теплоёмкость C есть величина, равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить данной системе для увеличения её температуры на один градус. Это значит, что . (3.7) Удельной теплоёмкостью вещества называется величина c, равная теплоёмкости единице массы этого вещества. . (3.8) Теплоёмкость одного моля вещества называется молярной теплоемкостью: , (3.9) где n – количество молей. Если газ нагревать при постоянном объёме, то и согласно (3.1) всё полученное газом количество теплоты расходуется только на увеличение его внутренней энергии . Тогда из (3.7) и (3.2) следует, что молярная теплоёмкость идеального газа при постоянном объёме равна: . (3.10) Если газ нагревать при постоянном давлении, то полученное газом количество теплоты расходуется на увеличение внутренней энергии dU и выполнение работы . . Тогда молярная теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении равна: . (3.11) Используя уравнение Клапейрона – Менделеева, можно доказать, что . Поэтому из (3.10) и (3.11) следует, во-первых, уравнение Майера , (3.12) а во-вторых, . (3.13) Поделив (3.13) на (3.10), получим интересный результат: . (3.14)
|