Понятие о двумерном нормальном законе распределения. Условные математические ожидания и дисперсии
Распределение одной сл\в, входящей в систему, найденное при условии, что другая сл\в приняла определенное значение, называется условным законом распределения. Усл закон распр можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения. Усл плотность распределения вычисляется по формулам:
Условным м\о искретной сл\в Y при X = x (х – определенное возможное значение Х) называется произведение всех возможных значений Y на их условные вероятности. Для непрерывных сл\в: Усл м\о M(Y/x)=f(x) является функцией от х и называется функцией регрессии Х на Y. Пример. Найти условное математическое ожидание составляющей Y при X= x1=1 для дискретной двумерной сл\в, заданной таблицей:
Аналогично определяются усл дисперсия и условные моменты системы сл\в. 28. Неравенство Маркова (лемма Чебышева) с док-вом для дискретной сл\величины. Пример. Теорема. Если сл\в Х принимет только неотриц знач и имеет мат\о, то для любого положительного числа А верно неравенство: Запишем выражение для м\о M(X): - в-ти т\ч сл\в Х примет значения 29. Неравенство Чебышева для средней арифметической сл\в. Теорема Чебышева с док-м и её значение и пример. Теорема Чебышева(ср.арифм). Если дисперсии n независимых сл\в Докажем ф-лу
Запишем неравенство
30. Теорема Чебышева с выводом и его частные случаи для сл\в, распределённой по биномиальному закону, и для частности события. Неравенство Чебышева. Теорема. Для люб сл\в имеющей м\о и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева: Применим неравенство Маркова в форме Запишем неравенство Чебышева в форме А) для сл\в Х=m, имеющей биноминальный закон распр с м\о a=M(X)=np и дисперсией D(X)=npq.
Б) для частности m\n события в n независимых испытаниях, в каждом из кот оно может произойти с 1 и той же в-тью 31. Закон больших чисел. Теорема Бернулли с док-м и её значение. Пример. К законам больших чисел относятся т Чебышева (наиболее общий случай) и т Бернулли (простейший случай) Теорема Бернулли Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых в-ть появления события А равно р. Возможно определить примерно относительную частоту появления события А. Теорема. Если в каждом из n независимых испытаний в-ть р появления события А постоянно, то сколь угодно близка к 1 в-ть т\ч отклонение относительной частоты от в-ти р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний р достаточно велико.
В случае, если вероятности появления события А в каждом опыте различны, то справедлива следующая теорема, известная как теорема Пуассона. Теорема. Если производится п независимых опытов и вероятность появления события А в каждом опыте равна рi, то при увеличении п частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей рi.
|
; 
. Усл плотность распр обладает всеми св-ми плотности распределения одной сл\в.
, где f(y/x) – усл плотность сл\в Y при X=x.
; 
. Доказательство для дискретной сл\в Х:Расположим значения дискр сл\в Х в порядке возрастания, из кот часть значений 
будет не больше числаА, а др часть 
будут больше А, т.е 
, где 
. Отбрасывая первые k неотрицательных слагаемых получим: 
. Заменяя в этом неравенстве значения 
или 
. Сумма в-тей в левой части представляет сумму в-ей событий 
, т.е в-ть соб Х>А. Поэтому 
. Т.к события 
и 
противоположные, то заменяя 
выражением 
, придём к др форме неравенства Маркова: 
. Неравенство Маркова применимо к любым неотрицательным сл\в.
ограничены 1 и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n ср арифметическая сл\величин сходится по в-ти к средней арифм их м\ожиданий 
, т.е 
или 
*(над стрелкой Ро- R)
и выясним смысл формулировки «сходимость по в-ти». По условию 
, 
, где С - постоянное число. Получим неравенство Чебышева в форме (
) для ср арифм сл\в, те для 
. Найдём м\о M(X) и оценку дисперсии D(X): 
;
(здесь использованы свойства м\о и дисперсии и т\ч сл\в 
для сл\в 
:
, где 
.
, взяв в кач + числа 
. Получим: 
. Т.к неравенство 
равносильно неравенству 
, а 
есть дисперсия сл\в Х, то из неравенства 
и 
противоположны, неравенство Чебышева можно записать и в форме: 
;
;и имеющей дисперсию 
: 
.
m – число появлений события А. Из всего сказанного выше не следует, что с увеличением число испытаний относительная частота неуклонно стремится к в-ти р, т.е. 
. В теореме имеется в виду только в-ть приближения относительной частоты к в-ти появления события А в каждом испытании.
