КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

 

Качественная теория динамических систем предполагает, что исходная система дифференциальных уравнений (второго порядка) уже линеаризована в окрестности одной из своих особых точек.

 

Предположим, мы нашли особую точку для какой-либо и системы и линеаризовали систему в окрестности этой точки. Наша линеаризованная система имеет вид:

 

 

Представим систему в матричном виде: слева столбец производных, а справа – столбец свободных членов

 

 

Делаем вывод, что данная система всегда имеет тривиальное решение . Система будет иметь нетривиальное решение, если определитель матрицы будет равен нулю, т. е. когда .

 

Составим для исходной системы характеристическое уравнение . Распишем это уравнение:

 

 

 

Найдём корни этого характеристического уравнения:

 

 

Новый термин: трек – это сумма элементов главной диагонали, обозначение – .

 

Тип особых точек исследуемой линеаризованной системы определяется корнями характеристического уравнения.

 

Выполнить отчёты по всем лабораторным работам с обложкой “Контрольная работа”

 

 

26.04.2012 Лекция

 

 

Опишем всевозможные результаты корней:

 

1. => корни вещественные, неотрицательные и различные, а фазовые траектории – параболы

 

 

a) => корни положительные. Особая точка типа “узел” является неустойчивой, т. е. с течением времени

b) => корни отрицательные. Особая точка типа “узел” является устойчивой

 

2. => корни вещественные и равные. В этом случае особая точка – это вырожденный узел – дикритический узел (на фазовой плоскости имеем семейство двойных парабол относительно , как в случае 1, и относительно )

 

3. => корни вещественные и различные по знаку. Особая точка – седло, фазовые траектории имеют форму гипербол.

 

4. => корни комплексно-сопряжённые,

 

a) => => имеем особую точку типа устойчивый фокус. Фазовые траектории в виде спиралей, приближающихся к особой точке

 

b) => => имеем неустойчивый фокус, спирали отдаляются от особой точки

 

5. , => имеем чисто комплексные корни. Особая точка типа центр, фазовые траектории имеют форму эллипсов

 

6. => хотя бы один из корней равен нулю. Особые точки заполняют одну из координатных осей, фазовые траектории – прямые. Особые точки здесь безымянные.

 

Водозабор исследования особых точек:

 

 

 

 

 

Провести следующее компьютерное исследование:

Задана линеаризованная система дифференциальных уравнений. Подобрать значения коэффициентов матрицы системы так, чтобы получить начало координат как особую точку заданного типа (всех рассмотренных типов с 1-го по 6-й) и в каждом случае построить фазовые траектории.

 

Замечание: все фазовые точки имеют силу только вблизи к началу системы координат. Иными словами, начальное условие должно задаваться вблизи к началу координат. Для особых точек каждого типа понятие близости к началу координат различается.

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Катермина Татьяна Сергеевна

07.09.2012 Лекция

 

Вторую половину курса ведёт Татьяна Сергеевна! Ура!