РАСПРЕДЕЛЁННЫЕ СИСТЕМЫ

 

Точечные модели – это модели, в которых искомые величины зависят только от времени (это все модели, рассмотренные ранее).

 

Распределённые модели – это модели, в которых величины меняются не только во времени, но и в пространстве.

 

В дальнейшем будут рассмотрены системы, в которых могут возникать устойчивые пространственные неоднородные связи, возникающие в результате развития неустойчивостей в однородной диссипативной среде (в среде, которая не получает энергии из вне). Такие структуры принято называть диссипативными. В 1952-ом году Алан Тьюринг основал теорию диссипативных сред.

 

Базовая модель теории распределённых или диссипативных систем описывается следующей системой уравнений:

 

 

и – это, кроме всего прочего, ещё и функции, описывающие процессы в распределённых системах

и – это функции среды

и – скорости распределения возмущений по осям и соответственно

– величина, равная радиальной координате, .

 

Иногда данные уравнения называют распределёнными или диффузионными.

 

Эта модель описывает процессы самопроизвольного возникновения и распространения волн в распределённых системах, которые также называются процессами самоорганизации.

 

Автоволны – это периодические самоподдерживающиеся волны или активности. В зависимости от видов функций , , в системе могут возникать следующие типа поведения и самоорганизации.

 

<вставить рисунки сюда>

 

5 – Стационарное неоднородное распределение переменных в пространстве диссипативной структуры.

 

6 – Генерация волн автономным источником импульсной активности. В качестве такого источника могут быть локальные возмущения переменных.

 

Общим условием развития процессов самоорганизации является появление неустойчивости в исходной распределённой системе. Такие неустойчивости могут возникнуть, если отклонение от состояния равновесия превышает критическое. В частности, такие неустойчивости могут возникнуть в системах с особой точкой типа “седло”, а “неустойчивый узел” может вызвать даже возникновение бегущих волн конечной амплитуды или стоячих волн.

 

Диссипативная структура, возникающая в результате неустойчивости, в реальном мире может поддерживаться за счёт постоянного притока энергии и вещества. Например, стоячие волны.

 

Для возникновения диссипативных структур нужно, чтобы уравнение, описывающее процессы в системе, были нелинейными. Кроме того, процессы в системе должны протекать согласовано. Изучением таких систем занимается синергетикой – междисциплинарная область или наука.

 

 

ТРИМОЛЕКУЛЯРНАЯ МОДЕЛЬ (БРЮССЕЛЛЯТОР)

 

Тримолекулярная модель описывает и позволяет исследовать структуру, которая при разных значениях параметров может обладать различным поведением во времени и пространстве. Система, описывающая такую модель, выглядит так:

 

 

Вещества и распределены равномерно, вещества и выпадают в осадок, вещества и участвуют в химических процессах, и всё это описывается диффузионным уравнением:

 

 

, – это функции, – радиальная координата. Радиальная координата обеспечивает зависимость системы от пространства. Это делает систему распределённой. Чтобы сделать её точечной, следует абстрагироваться от пространства. Тогда .

 

Решим систему. Т. е. выделим и исследуем её особые точки.

Для этого правые части уравнений приравняем к нулю.

 

 

Получили:

 

1) не существует

 

2) y=bxy=ba

 

a+bx-b+1x=0

 

x=0

 

<вставить рисунки сюда>

 

В распределённых системах возможно появление неустойчивости седлового типа, которое приводит к возмущению в пространстве однородной системы и развитию в ней пространственно-неоднородных стационарных режимов.

 

Например, Dl,d – это область протекания реакции, причём l – длина области, d – диаметр области (продолговатый цилиндрический сосуд). При определении размерности области и длин волн λ возможно определить характер неоднородности и характер пространства в системе. В такой системе возможно возникновении периодических структур, независящих от времени. Для их появления необходимо, чтобы величины Dx и Dy не были равны. Коэффициенты a* и b* должны удовлетворять условию b=1+a2 .

 

В тримолекулярные модели также возможны режимы в виде устойчивых и бегущих волн. Непрерывное изменение параметров задачи... <продолжаем на след. лекции>.