ПЕРВОГО ПОРЯДКА

 

В основе классификации лежит исследование поведения систем в окрестностях особой точки.

 

Пример:

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений “Хищник – жертва”

 

– коэффициент репродукции хищников

– коэффициент каннибализма хищников в результате бескормицы

– смертность жертв после встречи с хищниками

– аппетиты хищников

 

Найдём особые точки – стационарные точки, в которых достигается динамическое равновесие, т. е. производные равны нулю.

 

 

 

 

Рассмотрим модель в окрестности точки

, (, ). Произведение – это порядок малости по отношению к предыдущему слагаемому в правых частях уравнений системы. Этой величиной мы собираемся пренебречь. Отбросим из правых частей всё, что содержит произведения . Тогда наша система примет вид:

 

 

 

 

 

 

Для упрощения примем ,

Тогда:

 

 

Это гипербола.

 

 

Направление движения: слева направо.

Это точка типа “седло”

 

Таким образом, характер особой точки установлен путём линеаризации системы уравнений в окрестности особой точки и исследование полученной линейной системы.

 

Линеаризация – это отбрасывание в правых частях уравнений членов второго и более высоких порядков малости.

 

 

Теперь рассмотрим модель в окрестности точки

,

 

Для выяснения характера особой точки произведём в её окрестности линеаризацию данной системы. Однако замечаем, что в правых частях уравнений у нас не содержатся эти отношения. Поэтому следует передвинуть начало координат в точку . Для этого из и вычтем координаты .

 

 

Выразим координаты и в исходной модели через наши новые координаты:

 

 

Продифференцируем:

 

 

 

Раскроем скобки в первом уравнении и отбросим из него произведение , т. к. оно представляет собой второй порядок малости. Тогда первое уравнение принимает вид:

 

 

Представим как

 

 

Получаем:

 

 

Аналогично поступаем и со вторым уравнением, представив как . Получаем:

 

 

Получили систему

 

 

Решим её так же, как и в первом случае:

 

 

 

Получили эллипс.

 

 

По виду линеаризованной системы определяем, в каком направлении движутся наши фазовые точки со временем на фазовой плоскости: против часовой стрелки.