Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Определенный интеграл, основные теоремы




Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Основные теоремы:

Теорема. Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования:

Формула Ньютона-Лейбница:

Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разностьF (b) – F (a).

Св-ва:

1.

2.

3.

4.

5.

6.Если m≤f(x)≤M, то m(b-a)≤ M(b-a)

17. Понятие о дифференциальном уравнении: его порядке, общем и частном решении.

Обыкновенным дифференциальным уравнением наз-ся уравнение, связывающее искомую функцию, переменную и производные различных порядков данной функции.

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать так G(x,y,y`,…,y(n))=0 (1), где G- некоторая ф-ия n+2 переменных (n˃0), при этом n-порядок старшей производной, входящей в запись, наз-ся порядком дифференциального уравнения.

ПР:: x2y```-xy`=0 Обыкновенное диф-ое ур-ие третьего порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка наз-ся разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:

y(n)=F(x,y,y`,…yn-1) , где F – некоторая ф-ия n+1 переменной.

Решением диф-го ур-ия (1) наз-ся такая ф-ия у=у(х), кот. при подстановке её в это ур-ие обращает его в тождество.

Пр: ф-ия у=sinx яв-ся решением уравнения у```+у` =0, т.к. (sinx)```+(sinx)`=0 для любых х

Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения наз-ся задачей интегрирования данного диф-го уравнения.

График решения дифференциального уравнения наз-ся интегральной кривой.

ОБЩИМ РЕШЕНИЕМдиф-го ур-ия (1) n-го порядка наз-ся такое его решение y=φ(Хj C1,…Cn), кот. яв-ся функцией переменной х и произвольных постоянных С12,…Сn

ЧАСТНЫМ РЕШЕНИЕМдиф-го ур-ия наз-ся решение, кот. получено из общего решения, при некоторых конкретных числовых значениях постоянных С1, С2, … Сn

18. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными.

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка (n=1) имеет вид: или, если его удается разрешить относительно производной: . Общее решение y=y(x,С) или общий интеграл уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом, будет найдено частное решение или, что тоже, будет решена задача Коши. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива теорема, принимаемая здесь без доказательства.

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

или уравнение вида







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 230. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия