Уравнение в полных дифференциалах

 

Любое дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно старшей производной, можно записать в виде

.

Если выполнено соотношение , то уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Причину такого названия понять легко. Пусть - функция двух переменных, дифференцируемая и имеющая непрерывные вторые частные производные по своим переменным. Тогда .

Если обозначить , то исходное уравнение можно записать в виде полного дифференциала

, а соотношение как раз и означает равенство смешанных производных .

Поэтому решить уравнение в полных дифференциалах – означает найти функцию (она называется потенциалом). Так как на решениях дифференциального уравнения, то потенциал будет первым интегралом исходного дифференциального уравнения:

Для решения уравнения в полных дифференциалах можно использовать два способа.

1) ,

+ .

Здесь интегрирование ведется «частным образом»: только по переменной x, считая y константой или только по y, считая x константой.

Сравнивая оба выражения для , находим функции и константы.

Если какой-либо из интегралов, например, не берется или его вычислить сложно, то можно найти + .

Затем, дифференцируя частным образом по x, надо сравнить с и определить функции и константы.

2) Потенциал можно определять по формуле (она будет выведена из независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования позже, в 3 семестре)

. .

 

Пример. .

Решим уравнение первым способом.

Так как , то это – уравнение в полных дифференциалах.

,

.

Сравнивая оба равенства, видим, что , поэтому . Соотношение - это первый интеграл заданного дифференциального уравнения.

 

Решим уравнение вторым способом.

. Здесь принято .