Уравнение в полных дифференциалах
Любое дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно старшей производной, можно записать в виде
Если выполнено соотношение Причину такого названия понять легко. Пусть Если обозначить
Поэтому решить уравнение в полных дифференциалах – означает найти функцию
Для решения уравнения в полных дифференциалах можно использовать два способа. 1)
Здесь интегрирование ведется «частным образом»: только по переменной x, считая y константой или только по y, считая x константой. Сравнивая оба выражения для Если какой-либо из интегралов, например, Затем, дифференцируя 2) Потенциал можно определять по формуле (она будет выведена из независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования позже, в 3 семестре) .
Пример. Решим уравнение первым способом. Так как
Сравнивая оба равенства, видим, что
Решим уравнение вторым способом.
|
.
, то уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.
- функция двух переменных, дифференцируемая и имеющая непрерывные вторые частные производные по своим переменным. Тогда 
.
, то исходное уравнение можно записать в виде полного дифференциала
.
на решениях дифференциального уравнения, то потенциал будет первым интегралом исходного дифференциального уравнения:
,
+ 
.
и константы.
не берется или его вычислить сложно, то можно найти 
с 
и определить функции 
.
.
, то это – уравнение в полных дифференциалах.
,
.
, поэтому 
. Соотношение 
- это первый интеграл заданного дифференциального уравнения.
. Здесь принято 
.
