Линейное уравнение
Существует два метода решения линейного уравнения: метод вариации произвольной постоянной и метод подстановки. Метод вариации произвольной постоянной будет встречаться нам часто: при решении неоднородных линейных уравнений высшего порядка, при решении неоднородных систем линейных уравнений. Его надо знать твердо.
При решении методом вариации произвольной постоянной сначала решают однородное уравнение (с нулевой правой частью)
Это – уравнение с разделяющимися переменными.
Затем варьируют произвольную постоянную, полагая
Подставляем в неоднородное уравнение:
При вариации произвольной постоянной здесь обязательно должны сократиться два члена, в этом идея метода.
Видно, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Это справедливо не только для линейных уравнений первого порядка, но и для линейных уравнений высших порядков, и для линейных систем. Там подобное утверждение называется теоремой о структуре общего решения неоднородного уравнения или системы. Замечание. Решая уравнение методом вариации, обязательно приводите его к виду
При решении методом подстановки полагают
Теперь решают либо уравнение
Теперь Во втором случае остается найти u из Теперь
Пример.
Решение методом вариации. Приводим уравнение, деля на коэффициент при
Решаем однородное уравнение Варьируем произвольную постоянную Подставляем в неоднородное уравнение
Решение методом подстановки.
|
.
.
.
.
, где С – произвольная постоянная.
.
стоит коэффициент, то делить на него обязательно), иначе метод вариации даст ошибку.
. Мы видели выше, что решение действительно является произведением двух функций от x. Этот факт здесь и используется.
. Подставляем в уравнение:
.
, определяя отсюда
, либо уравнение 
, определяя отсюда
. Здесь при интегрировании не надо добавлять константу, она появится позже, при отыскании второй функции. В первом случае, остается найти v из 
.
= 
, как и выше.
, 
.
.
.
.
.
.
.
