Вычисление площади поверхности вращения
Пусть гладкая дуга представляет собой график непрерывно дифференцируемой функции Считая элемент поверхности боковой поверхностью усеченного конуса, высотой которого является отрезок
Если функция задана параметрически или в полярной системе координат, то в этой формуле производится соответствующая замена переменной, формулы для дифференциала длины дуги
Пример. Дуга графика функции Во-первых, определим, конечен ли объем ведерка.
|
. Эта дуга вращается вокруг оси OX, описывая некоторую поверхность. Требуется определить площадь этой поверхности.
, получим 
. Выделяя здесь линейную часть, пренебрегая квадратичным членом от дифференциала 
, получаем 
. Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим
.
приведены выше.
вращается вокруг оси OX, образуя «ведерко». Можно ли налить в это ведерко определенное количество краски так, чтобы окрасить боковую поверхность ведерка?
, интеграл сходится, объем конечен. Ведерко будет окрашено, если будет окрашена каждая точка поверхности, т.е. в том случае, когда боковая поверхность ведерка будет конечна.
. Так как 
а интеграл 
расходится, то по первому признаку сравнения будет расходиться и интеграл 
