Компонентные и топологические уравнения тепловой системы

В тепловой системе (рис.5.1) потенциальной переменной является температура Т (°К), а потоковой переменной – тепловой поток Ф (Вт или Дж/с). Рассмотрим одномерный процесс теплопередачи в твердом теле, полагая, что передача тепловой энергии осуществляется только вдоль оси х. Разделим твердое тело вдоль оси на отрезки длиной l, осуществив тем самым дискретизацию сплошной среды.

Рис. 5.1. Твёрдое тело

Каждый из полученных при этом дискретных элементов можно характеризовать средними значениями параметров: плотность ρ, теплоемкость с_T, коэффициент теплопроводности λ;.

Очевидно, что эти реальные физические элементы, имеющие определенные геометрические формы и объемы, являются сложными, т.к. обладают одновременно упругими и диссипативными свойствами. Однако и в этом случае физические свойства дискретных элементов, так же как в механической или гидравлической системах, можно отобразить простыми абстрактными элементами: упругими и

диссипативными. Изменение тепловой энергии dQ в каждом дискретном элементе

пропорционально приращению его температуры dT. В результате можно записать следующее уравнение теплового баланса:

dQ = C_TdT, (5.8)

где C_T - теплоемкость дискретного элемента (Дж/°К).

Величина теплоемкости определяется по формуле:

C_T = C×ρ×V,

где С – удельная теплоемкость материала (Дж/кг×°К); V – объем дискретного элемента (м³).

Изменение тепловой энергии в единицу времени представляет собой тепловой поток:

Поэтому уравнение (5.8) перепишем в виде:

Интегрируя последнее уравнение, получаем

Оно является компонентным уравнением упругого элемента тепловой системы.

Диссипативные свойства тепловой системы описываются уравнением Фурье. В одномерном случае уравнение Фурье имеет вид

(5.9)

где q – плотность теплового потока (Дж/с×м2); λ – коэффициент теплопроводности, Дж/(с×м×^оК).

Плотность теплового потока определяется отношением

где А – площадь поверхности контакта дискретного элемента с источником тепловой энергии или со смежным дискретным элементом, м².

Заменим производную dТ/dх отношением конечной разности

(5.10)

где T₁, T₂- температуры в узлах дискретизации 1 и 2, т.е. на границах выделенных элементов твердого тела; l – длина дискретного элемента. В выражении (5.10) учтено, что градиент температуры вдоль оси х отрицательный (температура падает по мере удаления от источника тепла).

Подставим значение q и dТ/dх в уравнение (5.9):

(5.11)

Формула (5.11) позволяет определить величину падения температуры в дискретном элементе в процессе теплопередачи. Следовательно, она дает математическое описание диссипативного элемента.

Введём обозначение:

(5.12)

где m_T - коэффициент теплового сопротивления дискретного элемента, (Дж/с×°К).

С учетом (5.12) получаем компонентное уравнение диссипативного элемента тепловой системы.

По формуле (5.12) определяют m_T при передаче тепла в твердом теле теплопроводностью, т. е. при индуктивном теплообмене. На поверхностях контакта твердого тела с жидкостной или газовой средой осуществляется конвективный теплообмен. Тепловой поток при конвективном теплообмене, в соответствии с законом Ньютона, пропорционален разности температуры среды T_с и поверхностного

слоя твердого тела T_s.

где T _д = T_c -T_s.

В этом случае коэффициент теплового сопротивления определяется по формуле:

где α - коэффициент теплообмена (теплоотдачи) через конвекцию (Дж/с×м2×°К).

Инерционными свойствами тепловая система не обладает. Это следует из того, что падение температуры вдоль дискретного элемента не зависит от скорости изменения теплового потока, а зависит лишь от его абсолютной величины. Значения потоковой переменной Ф_y характеризует изменение внутренней энергии твердого тела в процессе теплопередачи, а значение Ф _д – величину потерь, обусловленную преодолением теплового сопротивления.

Параметрами упругих и диссипативных элементов являются соответственно теплоемкость C_T и коэффициент теплового сопротивления µ_T. Потенциальная переменная Т_у характеризует температуру дискретного элемента, а Т _д - представляет собой разность температур смежных дискретных элементов.

Топологические уравнения имеют вид:

Первое уравнение выражает условие равновесия потенциалов на поверхностях контакта дискретных элементов. А второе – условие непрерывности функции температуры.

назад