Кубические уравнения с действительными коэффициентами
Если коэффициенты неполного кубического уравнения (4) - действительные числа, то основную роль играет знак выражения , стоящего в формуле Кардано под знаком квадратного корня. Знак этого выражения противоположен знаку выражения , которое называется дискриминантом неполного кубического уравнения. В дальнейших рассуждениях используется и указывается знак именно этого дискриминанта.
1. Пусть D < 0. В этом случае в формуле Кардано под знаком каждого из квадратных корней стоит положительное число, а поэтому под знаком каждого из кубических корней оказываются действительные числа. Кубический корень из действительного числа имеет одно действительное значение и два сопряженных комплексных корня. Пусть будет действительное значение корня ; тогда значение радикала , соответствующее на основании формулы , также будет действительным ввиду действительности числа p. Таким образом, корень уравнения (4) оказывается действительным. Два других корня мы найдем, заменяя в формулах (3) корни из единицы и из выражения (5): (5) ,
. Эти два корня оказываются ввиду действительности чисел и сопряженными комплексными числами, причём коэффициент при мнимой части отличен от нуля, так как , - эти числа являются значениями различных кубических корней. Таким образом, если D < 0, то уравнение (4) имеет один действительный и два сопряжённых комплексных корня.
2) Пусть D = 0. В этом случае .
Пусть будет действительное значение радикала ; тогда также будет, ввиду равенства , действительным числом, причем . Заменяя в формулах (3) через и используя очевидное равенство , мы получим: .
Таким образом, если D = 0, тo все корни уравнения (4) действительны, причем два из них равны между собой..
3) Пусть, наконец, D > 0. В этом случае в формуле Кардано под знаком квадратного корня стоит отрицательное действительное число, поэтому под знаками кубичных корней стоят сопряженные комплексные числа. Таким образом, все значения корней и будут теперь комплексными числами. Среди корней уравнения (4) должен, однако, содержаться хотя бы один действительный. Пусть это будет корень .
Так как действительны и сумма чисел и , и их произведение, равное , то числа и сопряжены между собой как корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами. Но тогда сопряжены между собой и числа и , а также числа и , откуда следует, что корни уравнения (4) , также будут действительными числами. Мы получили, что все три корня уравнения (4) действительны, причем легко показать, что среди них нет равных. В самом деле, в противном случае выбор корня х1 можно было бы осуществить так, чтобы имело место равенство x2 = x3 откуда , т. е. , что явно невозможно. Таким образом, если D > 0, то уравнение (4) имеет три различных действительных корня. Рассмотренный сейчас последний случай показывает, что практическое значение формулы Кардано весьма невелико. В самом деле, хотя при D > 0 все корни уравнения (4) с действительными коэффициентами являются действительными числами, однако разыскание их по формуле Кардано требует извлечения кубичных корней из комплексных чисел, что мы умеем делать лишь переходом к тригонометрической форме этих чисел. Поэтому запись корней с помощью корней теряет практическое значение. При помощи методов, выходящих за рамки этой главы, можно было бы доказать, что в рассматриваемом случае корни уравнения (4) вообще никаким способом не могут быть выражены через коэффициенты при помощи корней с действительными подкоренными выражениям и. Этот случай решения уравнения (4) называется неприводимым (не смешивать с неприводимостью многочленов!).
Пример 1. Решите уравнение по формуле Кардано .
Решение
Положим , получим , . Здесь , поэтому , - уравнение имеет один действительный и два сопряжённых комплексных корня. По формулам (1') находим , , . Два других корня найдём по формулам , Ответ: .
Пример 2. Решите уравнение по формуле Кардано .
Решение Преобразуем уравнение, разделив обе его части на коэффициент при , т. е. на 27, получим уравнение: . Положим , получим , , , . Здесь , поэтому ,
- уравнение имеет три действительных корня, причём два из них равны между собой. По формуле , находим .
Ответ: .
Пример 3. Решить уравнение, применяя формулу Кардано .
Решение
Подстановка приводит это уравнение к виду
,
, .
Здесь , поэтому
,
- уравнение имеет три различных действительных корня, но если оставаться в области действительных чисел, формула Кардано к этому уравнению не применима, хотя его корнями являются действительные числа .
Ответ: .
|