К заданию 1
Пример 1. Решите уравнение .
Решение
Положим и подставим в уравнение, получим: или . Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем: . С другой стороны, из равенства находим: . Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна 26, а произведение -27. Получим уравнение: . Разделим, по схеме Горнера, трёхчлен на x - 2, получим:
Уравнение примет вид: . Квадратное уравнение действительных корней не имеет. Уравнение имеет один действительный корень.
Ответ: .
Пример 2. Решите уравнение .
Решение Положим и подставим в уравнение, получим: или . Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем: . С другой стороны, из равенства находим: . Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна 56, а произведение -512. Получим уравнение: . Разделим, по схеме Горнера, трёхчлен на x - 2, получим:
Уравнение примет вид: . Квадратное уравнение действительных корней не имеет. Уравнение имеет один действительный корень.
Ответ: .
Пример 3. Решите уравнение .
Решение Положим и подставим в уравнение, получим: или .
Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем: . С другой стороны, из равенства находим: .
Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна 98, а произведение -3375. Получим уравнение:
.
Разделим, по схеме Горнера, трёхчлен на x - 2, получим:
Уравнение примет вид: . Квадратное уравнение действительных корней не имеет. Уравнение имеет один действительный корень.
Ответ: .
Пример 4. Решите уравнение .
Решение
Положим и подставим в уравнение, получим: или . Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем: . С другой стороны, из равенства находим: . Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -15, а произведение -216. Получим уравнение: , ;
Тогда . После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни. Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:
Уравнение примет вид: . Уравнение не имеет действительных корней, т. к. его дискриминант отрицателен: . Уравнение имеет один действительный корень: .
Ответ: .
Пример 5. Решите уравнение .
Решение Положим и подставим в уравнение, получим: или . Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем: . С другой стороны, из равенства находим: . Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна 1, а произведение . Получим уравнение: . Последнее квадратное уравнение действительных корней не имеет. Поэтому, такой метод решения к данному кубическому трёхчленному уравнению не применим.
|