Полные кубические уравнения

 

Полное кубическое (кубичное) уравнение вида

легко приводится к трёхчленному кубическому уравнению подстановкой .

 

Покажем это

 

 

,

,

. Положим , получим трёхчленное кубическое уравнение .

Пример 1. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим , получим ,

.

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна 9, а произведение 8.

Получим уравнение: , ;

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

 

1 0 -6 -9 3

1

 

Уравнение примет вид: . Уравнение не имеет действительных корней.

Получим один корень: . Найдем решение данного кубического уравнения: . Оно также имеет один действительный корень.

 

Ответ: .

 

Пример 2. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим , получим ,

,

.

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -28, а произведение 27.

Получим уравнение: , ;

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

 

1 0 -9 28 -4

1

 

Уравнение примет вид: . Уравнение не имеет действительных корней.

Получим один корень: . Найдем решение данного кубического уравнения: . Оно также имеет один действительный корень.

 

Ответ: .

 

Пример 3. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим , получим ,

.

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна 19 а произведение -216.

Получим уравнение: , ;

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

 

1 0 18 -19 1

1

 

Уравнение примет вид: . Уравнение не имеет действительных корней.

Получим один корень: . Найдем решение данного кубического уравнения: . Оно также имеет один действительный корень.

 

Ответ: .

 

Пример 4. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим , получим ,

.

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -6 а произведение 8.

Получим уравнение: , ;

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

 

1 0 -6 6

1

 

Уравнение примет вид: .

Уравнение не имеет действительных корней, поскольку его дискриминант отрицателен.

Получим один корень: . Найдем решение данного кубического уравнения: . Оно также имеет один действительный корень.

 

Ответ: .

 

Пример 5. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим , получим ,

.

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем: .

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -4 а произведение 8.

Получим уравнение: . Полученное квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел, значит такой метод к решению данного уравнения не применим.

Хотя, совершенно очевидно, что x = 1 является корнем данного уравнения, ибо сумма его коэффициентов равна нулю.

Разделим многочлен на x - 1 по схеме Горнера:

1 3 -3 -1 1

1

Получаем следующее уравнение: .

Квадратное уравнение имеет два корня:

, .

 

Ответ: , , .

 

Пример 6. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим , получим ,

.

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем: .

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна 98 а произведение -3375.

Получим уравнение . Оно имеет корни .

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

 

1 0 45 -98 2

1

 

Уравнение примет вид: . Уравнение не имеет действительных корней.

Получим один корень: . Найдем решение данного кубического уравнения: . Оно также имеет один действительный корень.

 

Ответ: .

 

Пример 7. Решите уравнение .

 

Решение

Преобразуем уравнение, разделив обе его части на коэффициент при , т. е. на 27, получим уравнение: .

Положим , получим ,

,

, .

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем: .

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна а произведение .

Получим уравнение или

Оно имеет корни .

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

 

1 0

1

Уравнение примет вид: .

Уравнение имеет два равных действительных корня .

Получим корни: , . Найдем решение данного кубического уравнения: , , .

 

Ответ: , .