Зависимости между корнями уравнения и его коэффициентами

 

Пусть дано приведенное биквадратное уравнение .

Допустим, что это уравнение имеет действительные корни и пусть и - корни этого уравнения, тогда и также будут являться корнями этого уравнения, в силу четности функции .

Получим: ,

.

Отсюда находим: .

 

Пример 5. Составить биквадратное уравнение, имеющее в числе своих корней и .

 

Решение

 

Из вышеприведенной теореме следует, что для уравнения , имеем . Подставляя значения вместо корней уравнения, находим: .

Получим уравнение: .

 

Ответ: .

 

Пример 6. Найти q в уравнении , зная, что ( и - корни уравнения).

 

Решение

 

Если и - корни уравнения, тогда , .

Получаем систему уравнений:

 

Ответ: .

Пример 7. Определить, при каком значении корни уравнения

составляют арифметическую прогрессию.

 

Решение

 

Во-первых, выясним, при каких значениях уравнение вообще будет иметь корни. Очевидно, для этого необходимо и достаточно, чтобы выражение

(следуя аналогии с квадратным уравнением, назовем его дискриминантом) было больше нуля или равнялось нулю.

.

Решать неравенство не будем, но, когда будут найдены значения , проверим, будет ли выполняться это неравенство.

Во-вторых. Пусть и - корни уравнения, причем , тогда и , также будут являться корнями уравнения.

Расположим эти корни в порядке возрастания, получим следующую последовательность: .

Поскольку эти корни должны образовывать арифметическую прогрессию, получим: .

С другой стороны, известно, что и .

Получим систему уравнений:

,

- эти корни входят в область допустимых значений.

 

Ответ: .