Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Трехчленные кубические уравнения





 

Рассмотрим один из методов решения неполных кубических уравнений на частных примерах.

 

Пример 1. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим и подставим в уравнение, получим:

или

.

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -16, а произведение 64.

Получим уравнение: , ;

.

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

 

1 0 -12 16 -4
1

 

Уравнение примет вид: .

Получим еще один корень: .

 

Ответ: .

 

Пример 2. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -9, а произведение 8.

Получим уравнение: , ;

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

 

1 0 -6 9 -3
1

 

Уравнение примет вид: . Уравнение не имеет действительных корней.

Получим один корень: .

 

Ответ: .

 

Пример 3. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -63, а произведение -64.

Получим уравнение: , ;

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

 

1 0 12 63 -3
1

 

Уравнение примет вид: . Уравнение не имеет действительных корней.

Получим один корень: .

 

Ответ: .

 

Пример 4. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

 

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -4, а произведение 8.

Получим уравнение: , ;

Квадратное уравнение корней не имеет.

Однако, первоначальное кубическое уравнение имеет действительные корни. В самом деле, среди делителей свободного члена: нетрудно найти корень: . В самом деле: .

Разделим, по схеме Горнера, трёхчлен на x - 2, получим:

 

1 0 -6 4 2
1

 

 

Уравнение примет вид: . Решим квадратное уравнение:

 

.

 

Ответ: .

 


Пример 5. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -2, а произведение -8.

Получим уравнение: , ;

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

1 0 6 2
1

 

Уравнение примет вид: .

Уравнение не имеет действительных корней, т. к. его дискриминант отрицателен:

.

Уравнение имеет один действительный корень: .

 

Ответ: .

 

Не всегда этот метод может дать положительный результат!

 

Пример 6. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -30, а произведение .

Получим уравнение: ,

, а значит квадратное уравнение не имеет решений.

Однако, исходное уравнение имеет три действительных корня 2, 3 и -5.

Методика решения такого типа уравнений рассматривается на множестве комплексных чисел и будет приведено ниже.

 







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 940. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

РЕВМАТИЧЕСКИЕ БОЛЕЗНИ Ревматические болезни(или диффузные болезни соединительно ткани(ДБСТ))— это группа заболеваний, характеризующихся первичным системным поражением соединительной ткани в связи с нарушением иммунного гомеостаза...

Решение Постоянные издержки (FC) не зависят от изменения объёма производства, существуют постоянно...

ТРАНСПОРТНАЯ ИММОБИЛИЗАЦИЯ   Под транспортной иммобилизацией понимают мероприятия, направленные на обеспечение покоя в поврежденном участке тела и близлежащих к нему суставах на период перевозки пострадавшего в лечебное учреждение...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Этапы и алгоритм решения педагогической задачи Технология решения педагогической задачи, так же как и любая другая педагогическая технология должна соответствовать критериям концептуальности, системности, эффективности и воспроизводимости...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия