Трехчленные кубические уравнения

 

Рассмотрим один из методов решения неполных кубических уравнений на частных примерах.

 

Пример 1. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим и подставим в уравнение, получим:

или

.

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -16, а произведение 64.

Получим уравнение: , ;

.

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

 

1 0 -12 16 -4

1

 

Уравнение примет вид: .

Получим еще один корень: .

 

Ответ: .

 

Пример 2. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -9, а произведение 8.

Получим уравнение: , ;

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

 

1 0 -6 9 -3

1

 

Уравнение примет вид: . Уравнение не имеет действительных корней.

Получим один корень: .

 

Ответ: .

 

Пример 3. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -63, а произведение -64.

Получим уравнение: , ;

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

 

1 0 12 63 -3

1

 

Уравнение примет вид: . Уравнение не имеет действительных корней.

Получим один корень: .

 

Ответ: .

 

Пример 4. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

 

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -4, а произведение 8.

Получим уравнение: , ;

Квадратное уравнение корней не имеет.

Однако, первоначальное кубическое уравнение имеет действительные корни. В самом деле, среди делителей свободного члена: нетрудно найти корень: . В самом деле: .

Разделим, по схеме Горнера, трёхчлен на x - 2, получим:

 

1 0 -6 4 2

1

 

 

Уравнение примет вид: . Решим квадратное уравнение:

 

.

 

Ответ: .

 

Пример 5. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -2, а произведение -8.

Получим уравнение: , ;

Тогда .

После того, как найден один из действительных корней, следует проверить, а не существуют ли другие действительные корни.

Для этого, применяя теорему Безу, устанавливаем, что кубический трёхчлен будет нацело делится на двучлен . Выполним деление по схеме Горнера:

1 0 6 2

1

 

Уравнение примет вид: .

Уравнение не имеет действительных корней, т. к. его дискриминант отрицателен:

.

Уравнение имеет один действительный корень: .

 

Ответ: .

 

Не всегда этот метод может дать положительный результат!

 

Пример 6. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим и подставим в уравнение, получим:

или .

Поскольку и выбраны произвольно, потребуем, чтобы , и поэтому получаем:

.

С другой стороны, из равенства находим:

.

Рассмотрим и , как корни квадратного уравнения, сумма корней которого равна -30, а произведение .

Получим уравнение: ,

, а значит квадратное уравнение не имеет решений.

Однако, исходное уравнение имеет три действительных корня 2, 3 и -5.

Методика решения такого типа уравнений рассматривается на множестве комплексных чисел и будет приведено ниже.