Уравнения четвертой степени
Решение уравнения четвертой степени
с произвольными комплексными коэффициентами сводится к решению некоторого вспомогательного кубичного уравнения. Осуществляется это методом, принадлежащим Феррари. Предварительно уравнение (6) подстановкой
Затем левая часть этого уравнения следующим образом тождественно преобразуется при помощи вспомогательного параметра
или
Подберем теперь
Равенство (9) является кубичным уравнением относительно неизвестного При этом выборе значения для
т. е. оно распадается на два квадратных уравнения:
Так как от уравнения (7) к уравнениям (10) мы пришли при помощи тождественных преобразований, то корни уравнений (10) будут служить корнями и для уравнения (7). Легко видеть вместе с тем, что корни уравнения (7) выражаются через коэффициенты при помощи корни. Мы не будем выписывать соответствующих формул ввиду их громоздкости и практической бесполезности, не станем также исследовать отдельно случай, когда уравнение (7) имеет действительные коэффициенты.
|
(6)
приводится к виду
(7)
:
. (8)
. (9)
будет один из них; он выражается ввиду формулы Кардано при помощи корней через коэффициенты уравнения (9), т. е. через коэффициенты уравнения (7),
, и поэтому уравнение (8) принимает вид
,
(10)
