Уравнения четвертой степени

 

Решение уравнения четвертой степени

 

(6)

 

с произвольными комплексными коэффициентами сводится к реше­нию некоторого вспомогательного кубичного уравнения. Осуществляется это методом, принадлежащим Феррари.

Предварительно уравнение (6) подстановкой приво­дится к виду

(7)

Затем левая часть этого уравнения следующим образом тождественно преобразуется при помощи вспомогательного параметра :

или

. (8)

Подберем теперь так, чтобы многочлен, стоящий в квадратных скобках, стал полным квадратом. Для этого он должен иметь один двукратный корень, т. е. должно иметь место равенство

. (9)

Равенство (9) является кубичным уравнением относительно неизвест­ного с комплексными коэффициентами. Это уравнение имеет, как мы знаем, три комплексных корня. Пусть будет один из них; он выражается ввиду формулы Кардано при помощи корней через коэффициенты уравнения (9), т. е. через коэффициенты уравнения (7),

При этом выборе значения для многочлен, стоящий в квадрат­ных скобках в (8), имеет двукратный корень , и поэтому урав­нение (8) принимает вид

,

т. е. оно распадается на два квадратных уравнения:

(10)

Так как от уравнения (7) к уравнениям (10) мы пришли при помощи тождественных преобразований, то корни уравнений (10) будут служить корнями и для уравнения (7). Легко видеть вместе с тем, что корни уравнения (7) выражаются через коэффициенты при помощи корни. Мы не будем выписывать соответствующих формул ввиду их громоздкости и практической бесполезности, не станем также исследовать отдельно случай, когда уравнение (7) имеет действительные коэффициенты.