Замечания об уравнениях высших степеней

 

В то время как методами решения квадратных уравнений владели еще древние греки, открытие изложенных выше методов решения уравнений третьей и четвертой степени относится к XVI веку. После этого почти три столетия продолжались безуспешные попытки сделать следующий шаг, т. е. найти формулы, выражающие при помощи радикалов корни любого уравнения пятой степени (т. е. уравнения пятой степени с буквенными коэффициентами) через его коэффициенты. Эти попытки прекратились лишь после того, как Абель в двадцатых годах прошлого века доказал, что такие формулы для уравнений n-й степени при любом заведомо не могут быть найдены.

Этот результат Абеля не исключал, однако, возможности того, что корни всякого конкретного многочлена с числовыми коэффи­циентами все же каким-либо способом выражаются через коэффи­циенты при помощи некоторой комбинации радикалов, т. е., как принято говорить, что всякое уравнение разрешимо в радикалах. Полностью вопрос об условиях, при которых данное уравнение раз­решимо в радикалах, был исследован Галуа в тридцатых годах про­шлого века. Оказалось, что для всякого n, начиная с n = 5, можно указать неразрешимые в радикалах уравнения n-й степени даже с целочисленными коэффициентами. Таким будет, например, уравнение

.

Исследования Галуа оказали решающее влияние на дальнейшее развитие алгебры.

 

Пример 1. Решите уравнение на множестве действительных чисел

 

Решение

 

Поставим задачу привести это уравнение к виду

Для этого воспользуемся подстановкой получим:

, откуда находим , , .

,

 

или

 

Подберем так, чтобы квадратный трехчлен, стоящий в скобках, стал полным квадратом, чтобы затем получить разность квадратов двух выражений.

Для этого его дискриминант должен быть равен нулю

 

 

Мы получили кубическое уравнение относительно. Решение кубических уравнений по формуле Кардано нам уже известно.

Положим тогда кубическое уравнение примет вид:

 

Так как и корни данного уравнения, тогда многочлен будет делиться на произведение

 

или на

 

.

Разделим "уголком" на

 

Ответ:

 

Пример 2. Решите уравнение на множестве действительных чисел

 

Решение

 

Поставим задачу привести это уравнение к виду

Для этого воспользуемся подстановкой получим:

 

 

,

 

, откуда находим , , .

,

 

или

 

Подберем так, чтобы квадратный трехчлен, стоящий в скобках, стал полным квадратом, чтобы затем получить разность квадратов двух выражений.

Для этого его дискриминант должен быть равен нулю

.

Если , тогда получим уравнение:

- это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

(1) или (2)

 

Решим каждое из них:

(1) , , .

(2) , , .

,

.

 

Если , тогда