Оптимизация выбора технологий на основе матричных моделей создания и потребления ресурсов

В отличие от модели технологических способов Канторовича, считается, что каждая отрасль выпускает продукцию только одного наименования, откуда следует равенство числа отраслей и наименований продуктов. Каких-либо поступлений продукции извне не рассматривается. Отрасль может потреблять продукцию своего выпуска.

Методами "Леонтьевских матриц" решается задача натурального межотаслевого баланса, в которой находятся объемы выпусков продуктов, необходимые при заданном их потреблении конечными потребителями и при известных удельных расходах.

Рассматривается система из n отраслей и такого же числа наименований продукции, перенумерованных индексами 1,2, …, n. Система отраслей должна удовлетворить заданный спрос со стороны конечных потребителей на продукцию D_i ≥ 0, i = 1,2, …, n. Обозначим Y_i ≥ 0 - выпуск продукции i -й отраслью, a_ik ≥ 0 – удельный расход i -го продукта на выпуск единицы k -го, k = 1,2, …, n. Задача натурального межотраслевого баланса состоит в определении величин выпусков всех отраслей при заданных удельных расходах и заданном спросе, полагая, что спрос должен быть полностью удовлетворен.

Система уравнений записывается в матричном виде:

Y = AY + D

Y = [E – A]^-1 D

где E – единичная диагональная матрица с единицами в диагонали, проведенной из левого верхнего угла в правый нижний и нулевыми остальными элементами. Минус первая степень обозначает операцию нахождения обратной матрицы. Равенство дает решение задачи.

В задаче стоимостного межотраслевого баланса находятся цены продуктов, при которых отрасли работают безубыточно, то есть издержки компенсируются выручкой.

Искомые цены обозначаются p_i, i = 1,2, …, n и вводится в рассмотрение матрица-столбец цен P, а также диагональная матрица выпуска продукции W.

Удельные затраты отраслей на единицу выпускаемой продукции представляются в виде матрицы-столбца С.

Вектор-столбец доходов отраслей R=WP

Затраты на закупки продукции у других отраслей равны матрице-столбцу: W (A' P)

Тогда уравнение равенства доходов и издержек: W P = W (A' P) + WС

Решив уравнение относительно P, получаем выражение, с помощью которого рассчитываются цены: P = [E – A']^-1C

В Леонтьевской модели ресурсов считается, что число отраслей (центров выпуска) равно числу видов продуктов. В этих условиях невозможно непосредственно представить производство одного продукта несколькими технологиями – центрами выпуска, что необходимо для анализа альтернативных технологий.

Тем не менее, альтернативные технологии можно моделировать методами Леонтьева, применяя искусственный прием: условно считать физически идентичные продукты разными продуктами, идентифицируя их разными индексами, а пропорцию их выпуска считать дополнительной переменной величиной – параметром задачи.