Нормальные напряжения при чистом прямом изгибе

Как отмечалось выше, нормальные напряжения зависят только от изгибающих моментов, поэтому вывод формулы для вычисления σ; можно производить применительно к чистому изгибу, при котором во всех сечениях Q=0 и, в силу (8.1), M_z=const.

Чистый прямой изгиб характеризуется следующим.

1). На выпуклой стороне волокна растягиваются, а на вогнутой – сжимаются. В этом можно убедиться, если с той и другой стороны балки сделать надрезы; на выпуклой стороне они разойдутся, а на вогнутой – сойдутся.

2). Если на боковой стороне балки нанести прямоугольную сетку, то будет видно, что переход от сжатых волокон к растянутым и наоборот происходит непрерывно и что между ними есть нейтральный слой, то есть волокна, длина которых при изгибе не изменяется (рис. 8.6).

Рис. 8.6.

При плоском изгибе нейтральный слой образует цилиндрическую поверхность, образующие которой лежат в поперечных сечениях и называются нейтральными линиями. Нейтральные линии, так же как и нейтральный слой служат границами между растягивающими и сжимающими напряжениями. На самой нейтральной линии напряжений нет.

Проекция нейтрального слоя на плоскость изгиба (плоскость симметрии), в случае упругих деформаций, называется упругой линией балки. Упругая линия балки, будучи частью нейтрального слоя длину не меняет.

3). В силу эффекта Пуассона в растянутой зоне поперечные сечения сужаются, а в сжатой – расширяются.

4). Плоские поперечные сечения, нормальные к упругой линии балки до изгиба, остаются плоскими и нормальными к ней после изгиба (гипотеза плоских сечений Я. Бернулли – 1705 г.).

5). Продольные волокна не оказывают давления друг на друга, а испытывают только осевое растяжение или сжатие. Иначе говоря, σ_y=0.

6). Картина деформаций по ширине сечения не изменяется, то есть нормальные напряжения распределены по ширине сечения равномерно.

Рассмотрим балку длиной l до и после чистого прямого изгиба (рис. 8.7). Относительное удлинение волокна (слоя) AB, удаленного на расстояния y от нейтрального слоя

.

(8.6)

Рис. 8.7.

Это равенство является аналитическим выражением гипотезы плоских сечений. Так как предполагается, что продольные волокна не давят друг на друга, согласно закона Гука нормальные напряжения в волокне AB равны

.

- формула Журавского

Qy – поперечная сила – const для любой точки поперечного сечения;

Jx – момент инерции сечения – постоянная величина для всего сечения относительно оси Х;

b– ширина сечения в рассматриваемой точке, b`const;

Sx* - статический момент отсеченной части сечения площадью F*:

Максимального значения касательные напряжения достигают в центре тяжести сечения: статический момент максимален из-за максимального значения площади F*.

Минимального значения касательные напряжения достигают по верхней и нижней границе сечения.