Вопрос 12. Возрастающая и убывающая функции

Возрастающая и убывающая функции. Свойства монотонных функций.

 

Функция , определённая на множестве X, называется возрастающей на множестве , если для любых и из множества М таких, что < справедливо равенство < . ().

Функция , определённая на множестве X, называется убывающей на множестве , если для любых и из множества М таких, что < справедливо равенство > . ().

Функция , определённая на множестве X, называется неубывающей на множестве , если для любых и из множества М таких, что < справедливо равенство . ().

Функция , определённая на множестве X, называется невозрастающей на множестве , если для любых и из множества М таких, что < справедливо равенство . ().

Функция, являющаяся или возрастающей, или убывающей или невозрастающей, или неубывающей на множестве М называется монотонной на множестве М.

Если множество М совпадает с областью определения функции, то функция обладающая одним из этих четырёх свойств называется монотонной, и соответственно или возрастающей, или убывающей или невозрастающей, или неубывающей.

 

Свойства монотонных функций.

1. Если функции и - возрастающие (убывающие) на множестве М, то и функция + - возрастающая (убывающая) на множестве М.

 

2. Если функции и - невозрастающие (неубывающие) на множестве М, то и функция + - невозрастающая (неубывающая) на множестве М.

Действительно, если и - возрастающие, то из < следует, что < и < . Складывая неравенства почленно получаем: + < + .

Остальные три случая доказываются аналогично.

3. (Теорема о корне) Если функция - возрастающая (убывающая) на множестве М, и А – любое значение, принимаемое функцией на М, то уравнение =А имеет на множестве М единственный корень.

Пусть - возрастающая и такое, что =А, тогда, для любого или < , или < , а значит или < или < .

Следствие: Если функция - возрастающая (убывающая) на множестве М, то уравнение =А имеет на множестве М не более одного корня.

Действительно, если А принадлежит области значений функции, то корень единственный, а если А не принадлежит области значений функции, то корней нет.