Вопрос 14

Способы задания функции, обратимые и необратимые функции. Обратная функция. График обратной функции.

Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Существует множество способов задания функции. К наиболее часто встречаемым относятся аналитический, когда функция задаётся формулой, графический, когда функция задаётся графиком, словесный или описательный, когда функция задаётся свойством описываемым словами, перечислением (как правило, для конечных функций, содержащих небольшое количество членов), рекуррентный, как правило, для функций определённых на множестве натуральных чисел (последовательностей), при рекуррентном способе, как правило, задаётся значение функции для 1 и закон, по которому зная значение функции для n, можно найти значение для (n+ 1).

Пусть функция определена на множестве . Тогда каждому значению , соответствует единственное значение . Если каждое своё значение функция принимает только один раз, то такую функцию называют обратимой.

Зададим соответствие g между элементами множеств и обратимой функции f, при котором каждому элементу будет соответствовать элемент такой, что . Данное соответствие будет являться функцией, а заданная таким образом функция g будет называться функцией, обратной функции f (обозначается f^-1).

Свойства обратных функций.

1. Если g - функция, обратная функции f, то и f - функция, обратная функции g.

2. = и = . Т.е у прямой и обратной функции области определения и значений «меняются местами».

3. Графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой - биссектрисы I и III координатных углов.
Действительно, если точка А принадлежит графику прямой функции, то точка А₁ принадлежит графику обратной функции. Уравнение прямой АА₁ имеет вид , значит она перпендикулярна прямой . Точка пересечения прямых и АА₁ имеет координаты , т.е. равноудалена от точек А и А₁. Примеры графиков прямой и обратной функций:

4. Если обратимая функция нечётная, то и обратная ей функция тоже нечётная.

Из нечётности прямой функции f следует, что если точка с координатами принадлежит графику функции f, то и точка принадлежит графику функции f, a это означает, что точки с координатами и принадлежит графику функции g, т.е. обратная функция тоже нечётная.

Пусть функция определенная на множестве на каком-нибудь множестве каждое значение принимает только один раз, то он называется обратимой на множестве .

Пример: каждая из функций и необратима на множестве R, но обратима на каждом из интервалов и .

Для нахождения функции, обратной данной обратимой функции, поступают следующим образом:

1) выражают переменную x через переменную y,

2) в полученном выражении меняют x на y, а y на x.