Вопрос 13

Периодические функции. Основной период, график периодической функции на примере функции у = {x}.

Функция называется периодической, если существует такое число Т>0, называемое периодом, что для любого выполняются следующие свойства:
1) и ;
2) и .

Если Т – период функции, то и k Т, где , так же является периодом функции. Наименьший положительный период (если он существует) называется основным периодом функции.

График периодической функции состоит из одинаковых «кусочков», при этом значения функции на концах периода должны быть равны.

Примером периодической функции является функция - «дробная часть числа». Основной период этой функции равен 1.

Свойства периодических функций.

1. Область определения содержит сколь угодно большие по абсолютной величине положительные и отрицательные числа. Действительно, k Т, где , является периодом функции, а значит x + k Т принадлежит области определения функции. При этом k Т может быть сколь угодно большим по абсолютной величине положительным или отрицательным числом.

2. Периодическая функция принимает каждое своё значение бесконечное количество раз.

3. Если для периодической функции с периодом Т на некотором отрезке выполняется неравенство (), где М – некоторая константа, то функция ограничена сверху (снизу). Действительно, т.к. длина отрезка равна периоду, то на этом отрезке функция принимает все свои значения.

Два числа Т₁ и Т₂ называются соизмеримыми, если их отношение является рациональным числом.

4. Если функции и - периодические на множестве М, с основными периодами Т₁ и Т₂, являющимися соизмеримыми, то и функция - периодическая на множестве М.

Действительно, если Т₁ и Т₂, соизмеримы, то учитывая, что они положительные имеем , где m и n – натуральные. Отсюда Пусть Т= . Тогда = = .