Вопрос 4. Многочлен. Способы деления многочленов

Многочлен. Способы деления многочленов. Метод неопределенных коэффициентов.

 

Многочленом n -ой степени от одной переменной x называется выражение вида , где a_n, a_n-1, …, a₁ и a₀ – некоторые числа, причём a_n ¹0.
Число n называют степенью многочлена, а данную запись – стандартным видом многочлена.

Многочлены принято обозначать так: , и т.д., или , .

.

Два многочлена и называются равными, если у них одинаковые степени и соответствующие коэффициенты равны (т.е. ).

Действия над многочленами.

1. Суммой многочленов и называется многочлен , где и , а , при этом, если , то , а если , то .

2. Разностью многочленов и называется многочлен , где не превосходит большего из и , а , при этом, если , то , а если , то .

Таким образом, степень суммы (разности) двух многочленов, не может превосходить наибольшую из степеней слагаемых (уменьшаемого и вычитаемого).

3. Произведением многочленов и называется многочлен , получающийся после умножения каждого слагаемого одного многочлена на каждое слагаемое другого многочлена и приведения подобных слагаемых. = × .

Если = × , то говорят, что многочлен делится (делится без остатка) на каждый из многочленов и .

Основными способами деления многочленов являются
деление уголком (см пример)

 

И метод неопределённых коэффициентов:

Суть метода неопределённых коэффициентов сводится к следующему:

Если даны многочлены и , причём то по основной теореме арифметики существуют единственные и , причём , а такие, что = × + .

Выполнив умножение и вычитание многочленов в правой части, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной, учитывая, что и , получим систему, состоящую из уравнения с не более чем с неизвестным ( т.е. ).

Решив эту систему найдём коэффициенты многочленов и .