Вопрос 2. Множества, элементы множества, пустое множество, универсальное множество, конечное и бесконечное множество

Множества, элементы множества, пустое множество, универсальное множество, конечное и бесконечное множество, способы задания множеств. Дополнение, пересечение, объединение, разность множеств. Круги Эйлера.

Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Понятие множества принимается за основное, т. е. не сводимое к другим понятиям. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Основное отношение между элементом a и содержащим его множеством A обозначается так (a есть элемент множества A; или a принадлежит A, или A содержит a). Если a не является элементом множества A, то пишут (a не входит в A, A не содержит a). Множество можно задать указанием всех его элементов, причем в этом случае употребляются фигурные скобки. Так { a, b, c } обозначает множество трех элементов. Аналогичная запись употребляется и в случае множеств, содержащих бесконечное количество элементов, причем невыписанные элементы заменяются многоточием. Так, множество натуральных чисел обозначается {1, 2, 3,...}, а множество четных чисел {2, 4, 6,...}, причем под многоточием в первом случае подразумеваются все натуральные числа, а во втором - только четные. Множества состоящие из конечного количества элементов называются конечными, в противном случае – бесконечными.

Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества A принадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A. Тогда пишут A = B. Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов. Например, множество из трех элементов a, b, c допускает шесть видов записи: { a, b, c } = { a, c, b } = { b, a, c } = { b, c, a } = { c, a, b } = { c, b, a }.

Множество, не содержащее ни одного элемента называют "пустое множество". Его обозначают Æ.

Если каждый элемент множества A входит во множество B, то A называется подмножеством B. Записывают так: Пустое множество по определению считается подмножеством любого множества.

Заметим еще, что надо различать элемент a и множество { a }, содержащее a в качестве единственного элемента. Запись означает, что a – элемент множества A, а запись означает, что a – множество, каждый элемент которого является элементом множества A.

Множество, элементами которого являются только числа, называется числовым множеством.

За некоторыми числовыми множествами закреплены стандартные обозначения. Например N – - множество натуральных чисел, Z – - множество целых чисел, Q – - множество рациональных чисел, R – - множество действительных чисел.

Когда все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого основного множества, это основное множество называют универсальным множеством, и обозначают U. Например, все любое числовое множество, составленное из известные нам на сегодняшний день чисел являются подмножествами множества действительных чисел.

Множества можно задавать разными способами: перечислением (например, { a, b, c }, формулой (например, ), описанием (например, «все красные автомобили, стоявшие на перехватывающей парковке у метро «Беляево» 22 июня 2012 года»), графически, и т.д.