Вопрос 3. Метод математической индукции

Метод математической индукции. (Сущность ММИ и применение на примере).

Метод математической индукции: «Утверждение, зависящее от натурального числа n, справедливо для любого n, если выполнены два условия:
а) утверждение верно при n =1; (База индукции)
б) из справедливости утверждения для произвольного натурального n=k, следует его справедливость для n=k+1. (Шаг индукции).

Таким образом, доказав в общем виде, что утверждение остаётся истинным, если значение n увеличить на 1, и проверив, что оно выполняется для n =1, мы получаем, что оно выполняется для n =1+1=2, затем для n =2+1=3 и т.д., т.е для любого n.

Пример 1. Доказать, что для любого натурального n верно утверждение .

а) при n = 1 утверждение верно: ;
б) предположим, что утверждение верно для n=k, и исходя из этого, докажем, что оно верно для n=k+1 .

Утверждение доказано.

Пример 2. Доказать, что для любого натурального n верно утверждение .

а) при n = 1 утверждение верно:
б) предположим, что утверждение верно для n=k (т.е. верно ), и исходя из этого, докажем, что оно верно для n=k+1 .

Утверждение доказано.

Замечание. Иногда некоторые свойства выполняются не для всех натуральных чисел, а для всех натуральных чисел начиная с некоторого m. Для таких свойств так же применим метод индукции. Пример 3. Доказать, что для любого натурального n 2 и x >0 верно утверждение (неравенство Бернулли).

а) при n = 2 утверждение верно:
б) предположим, что утверждение верно для n=k (k 2) и исходя из этого, докажем, что оно верно для n=k+1 .
Умножим обе части неравенства на положительное выражение . Получим
Утверждение доказано.