Делимость многочленов. Свойства делимости многочленов. Доказательство одного из них.
Если многочлен
можно представить в виде произведения многочленов
и
=
×
, то говорят, что многочлен
делится (делится без остатка) на многочлены
и
.
Свойства делимости многочленов.
1. Если многочлен
делится на многочлен
, а многочлен
делится на многочлен
, то и многочлен
делится на многочлен
.
Действительно, если
делится на многочлен
, то
=
×
, если
делится на многочлен
, то
=
×
. Откуда следует, что
=
×
×
. Т.к.
×
является многочленом, то обозначив
=
×
, получаем
=
×
. Т.е.
делится
на
.
2. Если каждый из многочленов
и
делится на многочлен
, то и многочлены
±
делятся на многочлен
.
Действительно, если
делится на
, то
=
×
, если
делится на
, то
=
×
. Откуда,
±
=
×
±
×
=(
±
)×
=
×
, где
=
±
.