Вопрос 16. Определение тригонометрических функций

Определение тригонометрических функций. Вывод основного тригонометрического тождества и его следствий.

 

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе .

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе .

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему .

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему .

Причём ни синус, ни косинус, ни тангенс, ни котангенс не зависят от размеров треугольника, а зависят только от градусной меры угла.

Введём на плоскости Декартову систему координат.

Построим в ней окружность радиуса 1, с центром в начале координат.

Расположим прямоугольный треугольник, с гипотенузой равной 1 так, чтобы вершина острого угла совпадала с началом координат, один из катетов лежал на неотрицательной полуоси абсцисс, а гипотенуза была расположена в I координатной четверти. Тогда второй конец гипотенузы Р будет лежать на окружности. Обозначим координаты этой точки
Р . Получаем, что длина катета, прилежащего к углу равна , а длина катета, противолежащего к углу равна

Тогда получаем, что , , и .
Таким образом мы установили соответствие между тригонометрическими функциями угла, образованного лучом ОР с положительным направлением оси абсцисс и координатам точки пересечения луча с единичной окружностью, имеющей центр в начале координат. Поэтому эта окружность называется «тригонометрической».

Углом поворота назовём угол между начальным и конечным положениями радиус-вектора, при вращении относительно его начала.

За начальное положение радиус-вектора примем такое его положение, когда его начало расположено в начале координат, а его направление совпадает с положительным направлением оси абсцисс.

За положительное направление поворота примем поворот от оси абсцисс к оси ординат (т.е. против часовой стрелки).

Пусть после поворота радиус-вектора на угол его конец оказался в точке Р . Тогда синусом угла мы будем называть ординату точки Р, т.е. , косинусом угла мы будем называть абсциссу точки Р, т.е. , тангенсом угла мы будем называть отношение ординаты точки Р к её абсциссе т.е. , а котангенсом – отношение абсциссы к ординате т.е. .

Т.к. точка P лежит на окружности уравнение которой , то её координаты (; ) обращают уравнение в истинное равенство. Следовательно,

Данное тождество называется основным тригонометрическим тождеством.

Из него выводятся следующие следствия: и Þ и .

Из определения тангенса и котангенса следует, что: Þ и ( и )

Þ и ; Þ и