Дифференцирование функции, заданной неявноЕсли независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно ,то функция называется неявной функцией переменной . Всякую явно заданную функцию можно записать в неявном виде . Обратно сделать не всегда возможно. Несмотря на то, что уравнение не разрешимо относительно , оказывается возможным найти производную от по . В этом случае необходимо продифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию как функцию от , а затем из полученного уравнения найти производную . Пусть уравнение определяет как некоторую функцию от . Если в это уравнение подставить вместо у функцию , то получим тождество . Придадим приращение , тогда значению аргумента будет соответствовать значение функции , но с другой стороны Разность также равна нулю: Как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде . Разделим последнее равенство на : . Откуда . Перейдя к пределу, получим формулу вычисления производной функции, заданной неявно: . Аналогично можно вычислить частные производные неявной функции переменных по всем ее аргументам. Например, для функции справедливо: , .
|